二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2,进位规则是“逢二进一”,借位规则是“借一当二”,由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现。当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统,数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。计算机中的二进制则是一个非常微小的开关,用“开”来表示1,“关”来表示0。

19世纪爱尔兰逻辑学家乔治布尔对逻辑命题的思考过程转化为对符号"0''.''1''的某种代数演算,二进制是逢2进位的进位制。0、1是基本算符。因为它只使用0、1两个数字符号,非常简单方便,易于用电子方式实现。

 

二进制数据的表示法

二进制数据也是采用位置计数法,其位权是以2为底的。例如二进制数据110.11,逢2进1,其权的大小顺序为2²、2¹、2º。对于有n位整数,m位小数的二进制数据用加权系数展开式表示,可写为:

二进制数据一般可写为:

例如:将二进制数据111.01写成加权系数的形式。


二进制和十六进制八进制一样,都以二的来进位的。

二进制数据的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。最常用的是加法运算和乘法运算。


二进制加法

有四种情况: 

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

0 进位为1


例如求 1011(2)+11(2) 的和

1011+11[3]

二进制乘法

有四种情况: 

0×0=0

1×0=0

0×1=0

1×1=1


二进制减法

0-0=0,

1-0=1,

1-1=0,

0-1=1。


二进制除法

0÷1=0,

1÷1=1。


计算机中的十进制小数转换二进制

计算机中的十进制小数用二进制通常是用乘二取整法来获得的。

比如0.65换算成二进制就是:

0.65 × 2 = 1.3 取1,留下0.3继续乘二取整

0.3 × 2 = 0.6 取0, 留下0.6继续乘二取整

0.6 × 2 = 1.2 取1,留下0.2继续乘二取整

0.2 × 2 = 0.4 取0, 留下0.4继续乘二取整

0.4 × 2 = 0.8 取0, 留下0.8继续乘二取整

0.8 × 2 = 1.6 取1, 留下0.6继续乘二取整

0.6 × 2 = 1.2 取1,留下0.2继续乘二取整

.......

一直循环,直到达到精度限制才停止(所以,计算机保存的小数一般会有误差,所以在编程中,要想比较两个小数是否相等,只能比较某个精度范围内是否相等。)。这时,十进制的0.65,用二进制就可以表示为:0.1010011。

还值得一提的是,在计算机中,除了十进制是有符号的外,其他如二进制、八进制、16进制都是无符号的。

在现实生活和记数器中,如果表示数的“器件”只有两种状态,如电灯的“亮”与“灭”,开关的“开”与“关”。一种状态表示数码0,另一种状态表示数码1,1加1应该等于2,因为没有数码2,只能向上一个数位进一,就是采用“满二进一”的原则,这和十进制是采用“满十进一”原则完全相同。

1+1=10,10+1=11,11+1=100,100+1=101,

101+1=110,110+1=111,111+1=1000,……,

可见二进制的10表示二,100表示四,1000表示八,10000表示十六,……。

二进制同样是“位值制”。同一个数码1,在不同数位上表示的数值是不同的。如11111,从右往左数,第一位的1就是一,第二位的1表示二,第三位的1表示四,第四位的1表示八,第五位的1表示十六。

所谓二进制,也就是计算机运算时用的一种算法。二进制只由一和零组成。

比方说吧,你上一年级时一定听说过“进位筒”(“数位筒”)吧!十进制是个位上满十根小棒就捆成一捆,放进十位筒,十位筒满十捆就捆成一大捆,放进百位筒……

二进制也是一样的道理,个位筒上满2根就向十位进一,十位上满两根就向百位进一,百位上满两根…… 二进制是世界上第一台计算机上用的算法,最古老的计算机里有一个个灯泡,当运算的时候,比如要表达“一”,第一个灯泡会亮起来。要表达“二”,则第一个灯泡熄灭,第二个灯泡就会亮起来。

二进制就是等于2时就要进位。

0=00000000

1=00000001

2=00000010

3=00000011

4=00000100

5=00000101

6=00000110

7=00000111

8=00001000

9=00001001

10=00001010

……

即是逢二进一,二进制广泛用于最基础的运算方式,计算机的运行计算基础就是基于二进制来运行。只是用二进制执行运算,用其他进制表现出来。

其实把二进制三位一组分开就是八进制, 四位一组就是十六进制


二进制与十进制的区别在于数码的个数和进位规律有很大的区别,顾名思义,二进制的计数规律为逢二进一,是以2为基数的计数体制。10这个数在二进制和十进制中所表示的意义完全不同,在十进制中就是我们通常所说的十,在二进制中,其中的一个意义可能是表示一个大小等价于十进制数2的数值。

我们可以将二进制数10表示为:10=1×2^1+0×2^0



八进制

八进制(基数为8)表示法在早期的计算机系统中很常见,因此,偶尔我们还能看到人们使用八进制表示法。八进制适用于12位和36位计算机系统(或者其他位数为3的倍数的计算机系统)。

Octal,缩写OCT或O,一种计数法,采用0,1,2,3,4,5,6,7八个数字,逢八进位,并且开头一定要以数字0开头。八进制的数较九进制的数书写方便,常应用在电子计算机的计算中。

例如:10进制的32表示成8进制就是:040 , 10进制的9,27在八进制中分别记位011,033.  8进制的32表示成10进制就是:3×8^1+2×8^0=26

八进制数不能表示负数和小数,用来表示整数。

八进制(基数为8)表示法在早期的计算机系统中很常见,因此,偶尔我们还能看到人们使用八进制表示法。八进制适用于12位和36位计算机系统(或者其他位数为3的倍数的计算机系统)。但是,对于位数为二的幂(8位,16位,32位与64位计算机系统)的计算机系统来说,八进制就不算很好了。因此,在过去几十年里,八进制渐渐地淡出了。不过,还是有一些程序设计语言提供了使用八进制符号来表示数字的能力,而且还是有一些比较古老的Unix应用在使用八进制。

 

十六进制

英文名称:hexadecimal number system,是计算机中数据的一种表示方法。同我们日常中的十进制表示法不一样。它由0-9,A-F组成,字母不区分大小写。与10进制的对应关系是:0-9对应0-9;A-F对应10-15;N进制的数可以用0---(N-1)的数表示超过9的用字母A-Z。

10进制的32表示成16进制就是:20

16进制的20表示成10进制就是:2×16¹+0×16º=32

十进制数可以转换成十六进制数的方法是:十进制数的整数部分“除16取余”,十进制数的小数部分“乘16取整”,进行转换。

比如说十进制的0.1转换成八进制为0.0631463146314631。就是0.1乘以8=0.8,不足1不取整, 0.8乘以8=6.4,取整数6 , 0.4乘以8=3.2,取整数3,依次下算。

编程中,我们常用的还是10进制.毕竟C/C++是高级语言。

比如

int a = 100,b = 99;

不过,由于数据在计算机中的表示,最终以二进制的形式存在,所以有时候使用二进制,可以更直观地解决  问题。但二进制数太长了。比如int 类型占用4个字节,32位。比如100,用int类型的二进制数表达将是:

0000

0000

0000

0000

0110

0100

面对这么长的数进行思考或操作,没有人会喜欢。因此,C,C++ 没有提供在代码直接写二进制数的方法。用16进制或8进制可以解决这个问题。因为,进制越大,数的表达长度也就越短。不过,为什么偏偏是16或8进制,而不其它的,诸如9或20进制呢?2、8、16,分别是2的1次方、3次方、4次方。这一点使得三种进制之间可以非常直接地互相转换。8进制或16进制缩短了二进制数,但保持了二进制数的表达特点。

使用十六进制的意义是:

1 用于计算机领域的一种重要的数制。

2 对计算机理论的描述,计算机硬件电路的设计都是很有益的。比如逻辑电路设计中,既要考虑功能的完备,还要考虑用尽可能少的硬件,十六进制就能起到一些理论分析的作用。比如四位二进制电路,最多就是十六种状态,也就是一种十六进制形式,只有这十六种状态都被用上了或者尽可能多的被用上,硬件资源才发挥了尽可能大的作用。

3 十六进制更简短,因为换算的时候一位16进制数可以顶4位2进制数。


 

进制转换

1、二进制转十进制

方法:“按权展开求和”

比如:

规律:个位上的数字的次数是0,十位上的数字的次数是1,......,依次递增,而十

分位的数字的次数是-1,百分位上数字的次数是-2,......,依次递减。

注意:不是任何一个十进制小数都能转换成有限位的二进制数。

2、十进制转二进制

· 十进制整数转二进制数:“除以2取余,逆序排列”(除二取余法

比如:

89÷2 ……1

44÷2 ……0

22÷2 ……0

11÷2 ……1

5÷2 ……1

2÷2 ……0

1

  十进制小数转二进制数:“乘以2取整,顺序排列”(乘2取整法)

比如:

(0.625)10= (0.101)2

0.625X2=1.25 ……1

0.25 X2=0.50 ……0

0.50 X2=1.00 ……1

 

3、二进制数转换成十六进制数:

二进制数转换成十六进制数时,只要从小数点位置开始,向左或向右每四位二进制划分一组(不足四位数可补0),然后写出每一组二进制数所对应的十六进制数码即可。

十六进制数转换成二进制数:把每一个十六进制数转换成4位的二进制数,就得到一个二进制数。

十六进制数字与二进制数字的对应关系如下:

0000 -> 0 0100 -> 4 1000 ->8 1100 -> C

0001 -> 1 0101 -> 5 1001 ->9 1101 -> D

0010 -> 2 0110 -> 6 1010 ->A 1110 -> E

0011 -> 3 0111 -> 7 1011 ->B 1111 -> F

比如:将十六进制数5DF.9 转换成二进制:

5 D F . 9

0101 1101 1111 .1001

即:(5DF.9)16 =(10111011111.1001)2{十六进制怎么会有小数点}

比如:将二进制数1100001.111 转换成十六进制:

0110 0001 . 1110

6 1 . E

即:(1100001.111)2 =(61.E)16


4、二进制数转换成八进制数:从小数点开始,整数部分向左、小数部分向右,每3位为一组用一位八进制数的数字表示,不足3位的要用“0”补足3位,就得到一个八进制数。

八进制数转换成二进制数:把每一个八进制数转换成3位的二进制数,就得到一个二进制数。

八进制数字与二进制数字对应关系如下:

000 -> 0 | 100 -> 4

001 -> 1 | 101 -> 5

010 -> 2 | 110 -> 6

011 -> 3 | 111 -> 7

比如:将八进制的37.416转换成二进制数:

3 7 . 4 1 6

011 111 .100 001 110

即:(37.416)8 =(11111.10000111)2

比如:将二进制的10110.0011 转换成八进制:

0 1 0 1 1 0 . 0 0 1 1 0 0

2 6 . 1 4

即:(10110.0011)2 = (26.14)8

 

二进制与八进制的互相转换和二进制与十六进制的转换类似,区别在于需要操作的是三位一组而不是四位。

二进制/八进制换算表

二进制

八进制

000

0

001

1

010

2

011

3

100

4

101

5

110

6

111

7

为了将一个二进制数换算为八进制,只需将二进制串划分成每三个位一组(如果需要的话,在前面补零),然后查表2-2,将三位一组的位串替换为相应的八进制数字即可。

 

5、八进制数换算为十六进制

只需将八进制数换算为二进制,然后再换算为十六进制即可。

一种计数法,采用0,1,2,3,4,5,6,7八个数码,逢八进位,并且开头一定要以数字0开头。八进制的数较二进制的数书写方便,常应用在电子计算机的计算中。

例如:

10进制的32表示成8进制就是:040

10进制的9,27在八进制中分别记位011,033.

6、八进制化为十进制:

八进制数12.6转换成十进制数

(12.6)8 = 1×8^1 + 2×8^0 + 6×8^-1 = (10.75)10


7、八进制化为二进制:

按照顺序,每1位八进制数改写成等值的3位二进制数,次序不变。

比如:(17.36)8 = (001 111 .011 110)2 = (1111.01111)2

八进制化为十六进制

先将八进制化为二进制,再将二进制化为十六进制

例:(712)8 = (1110 0101 0)2 = (1CA)16



8、十六进制化为八进制:

先用1化4方法,将十六进制化为二进制;再用3并1方法,将二进制化为8制。

例: (1CA)16 = (111001010)2 = (712)8

说明:小数点前的高位零和小数点后的低位零可以去除。

9、十进制化八进制

方法1:采用除8取余法。

例:将十进制数115转化为八进制数

8| 115…… 3

8| 14 …… 6

8| 1 …… 1

结果:(115)10 = (163)8

 

方法2:先采用十进制化二进制的方法,再将二进制数化为八进制数

比如:(115)10 = (1110011)2 = (163)8

 

10、十六进制转换十进制

16进制就是逢16进1,但我们只有0~9这十个数字,所以我们用A,B,C,D,E,F这六个字母来分别表示10,11,12,13,14,15。字母不区分大小写。

十六进制数的第0位的权值为16的0次方,第1位的权值为16的1次方,第2位的权值为16的2次方……

所以,在第N(N从0开始)位上,如果是是数 X (X 大于等于0,并且X小于等于 15,即:F)表示的大小为 X×16的N次方。

假设有一个十六进数 2AF5

直接计算就是:

5×160+F×161+A×162+2×163=10997

也可以用竖式表示:

第0位: 5×160=5

第1位: F×16^1=240

第2位: A×162=2560

第3位: 2×163=8192

-------------------------------

10997

此处可以看出,所有进制换算成10进制,关键在于各自的权值不同。

假设有人问你,十进数 1234 为什么是 一千二百三十四?你尽可以给他这么一个算式:

1234 = 1×103+2×102+3×101+4×100