logit回归结果正负 logit回归原理

1. 逻辑回归与线性回归的联系与区别2. 逻辑回归的原理
3. 逻辑回归损失函数推导及优化
4. 正则化与模型评估指标
5. 逻辑回归的优缺点
6. 样本不均衡问题解决办法
7. sklearn方法使用
附：代码
（如有错误，感谢指出！）

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1.逻辑回归与线性回归的联系与区别

联系：将线性回归输出的标记y的对数作为线性模型逼近的目标，即$\ln y=w^Tx+b$就是“对数线性回归”或“逻辑回归”。其在形式上仍是线性回归，但其是在求取输入空间到输出空间的非线性函数映射，也是广义线性模型的一个特例。

区别：逻辑回归解决的是分类问题，线性回归解决的是回归问题。

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2. 逻辑回归的原理

对数几率回归（逻辑回归(logit regression)）：是在用线性回归模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率。
线性回归模型为
$y = w^Tx+b$ 加入sigmod函数：$y=\frac{1}{1+e^{-z}},z=w^T+b$ 后，得到
$y=\frac{1}{1+e^{-(w^T+b)}}$

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3. 逻辑回归损失函数推导及优化

一般逻辑回归分类结果分为0、1两种，则有概率$p(y|x;\theta)=\phi(z)^y\cdot(1-\phi(z))^{(1-y)}$其中，$z=\theta^T+b$
于是，似然函数为$L=\prod_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)}))^{y^{(i)}}(1-h_\theta(x^{(i)})^{1-y^{(i)}}$那么损失函数就是对数似然函数的负值$J(\theta)=-\ln L(\theta)=-\sum_{i-1}^m(y^{(i)}log(h_\theta(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x^{(i)})))$对数似然函数$\ln L(\theta)$的随机梯度为
$\frac{\partial L(\theta)}{\partial\theta}=\sum_{i=1}^m(\frac{y^{(i)}}{h_\theta(x^{(i)})}-\frac{1-y^{(i)}}{1-h_\theta(x^{(i)})})\cdot\frac{\partial h_\theta(x^{(i)})}{\partial\theta_j}$ $=\sum_{i=1}^m(\frac{y^{(i)}}{g(\theta^Tx^{(i)})}-\frac{1-y^{(i)}}{1-g(\theta^Tx^{(i)})})\cdot\frac{\partial g(\theta^Tx^{(i)})}{\partial\theta_j}$ $=\sum_{i=1}^m(\frac{y^{(i)}}{g(\theta^Tx^{(i)})}-\frac{1-y^{(i)}}{1-g(\theta^Tx^{(i)})})\cdot g(\theta^Tx^{(i)})(1-g(\theta^Tx^{(i)}))\cdot \frac{\partial \theta^Tx^{(i)}}{\partial\theta_j}$ $=\sum_{i=1}^m(y^{(i)}(1-g(\theta^Tx^{(i)}))-(1-y^{(i)})\cdot g(\theta^Tx^{(i)}))\cdot x_j^{(i)}$ $=\sum_{i=1}^m(y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))\cdot x_m^{(i)}$
即Logisti回归参数$\theta$的求解过程为（类似梯度下降方法，往正梯度方向迭代）$\theta_j=\theta_j+\alpha\sum_{i=1}^m(y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))\cdot x_j^{(i)}$ $\theta_j=\theta_j+\alpha(y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))\cdot x_j^{(i)}$

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4. 正则化与模型评估指标

为解决过拟合问题，常见的有L1正则化和L2正则化。
L1：$J(\theta)=-\ln L(\theta)+\alpha|\theta|$
L2：$J(\theta)=-\ln L(\theta)+\frac{1}{2}\alpha|\theta|^2$

模型评估指标：ROC与AUC
ROC曲线的纵轴是“真正例率TPR”，横轴是“假正例率FPR”$TPR=\frac{TP}{TP+FN},FPR=\frac{FP}{TN+FP}$

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5. 逻辑回归的优缺点

优点：逻辑回归是直接对分类可能性进行建模，无需事先假设数据分布，这样就避免了假设分布不准确所带来的问题；它不仅预测类别，还可得到近似概率预测；也是任意阶可导的凸函数，便于求取最优解。

缺点：异常值对模型有很大的干扰，不能处理缺失值，且分类准确度一般不高

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6. 样本不均衡问题解决办法

解决类别不平衡学习的基本策略之一——“再缩放”(rescaling)。

其实现技术大体上有三类：第一类是直接对训练集里的反类样例进行“欠采样”（undersampling），即去除一些反例使得正、反例数目接近，然后再进行学习；第二类是对训练集里的正类样例进行“过采样”（oversampling），即增加一些正例使得正、反例数目接近，然后再进行学习；第三类则是直接基于原始训练集进行学习，但在用训练好的分类器进行预测时，将正反例数目比（观测几率$\frac{m^+}{m^-}$）嵌入到决策过程中，称为“阈值移动”（threshold-moving）。

“再缩放”也是“代价敏感学习”（cost-sensitive learning）的基础，即$m^-/m^+$用$cost^+/cost^-$代替，其中$cost^+$是将正例误分为反例的代价，$cost^-$是将反例误分为正例的代价。

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7. sklearn方法使用

方法：
`LogisticRegression(penalty=’l2’, dual=False, tol=0.0001, C=1.0, fit_intercept=True,intercept_scaling=1, class_weight=None, random_state=None, solver=’liblinear’, max_iter=100, multi_class=’ovr’,verbose=0, warm_start=False, n_jobs=1)

使用试例：

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
import numpy as np
data = np.loadtxt("data.txt",delimiter=",")
train_x,test_x,train_y,test_y=train_test_split(data[:,0:2],data[:,2],test_size=0.3)
model = LogisticRegression()
print(train_x.shape,train_y.shape,test_x.shape,test_y.shape)
model.fit(train_x,train_y)
print(len(test_y[model.predict(test_x)==test_y]))

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附：代码

逻辑回归代码：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

'''符号函数
    y = x0*w0+x1*w1+.....+xn*wn
'''
def sigmoid(x):
    return 1.0 / (1 + np.exp(-x))

'''
逻辑回归训练
'''
def train_logRegres(train_x, train_y, opts):
    """
    :param train_x: 训练的样本数据  输入数据
    :param train_y: 输出数据
    :param opts: 参数  alpha包括步长  maxIter迭代次数 optimizeType是哪个一个算法
    :return:
    """
    numSamples, numFeatures = np.shape(train_x)
    alpha = opts['alpha'] #步长
    maxIter = opts['maxIter']#迭代次数
    #权重
    weights = np.ones((numFeatures, 1)) #初始化参数为1
    for k in range(maxIter):
        output = sigmoid(train_x.dot(weights))
        diff = train_y - output
        weights = weights + np.dot(alpha * train_x.T , diff)
    return weights

'''逻辑回归测试'''
def test_LogRegres(weights, test_x, test_y):

    numSamples, numFeatures = np.shape(test_x)
    matchCount = 0
    for i in range(numSamples):
        predict = sigmoid(np.dot(test_x[i, :] , weights))[0] > 0.5
        if predict == bool(test_y[i, 0]):
            matchCount += 1
    accuracy = float(matchCount) / numSamples
    return accuracy

'''加载数据，如：
-0.017612,14.053064,0
-1.395634,4.662541,1
-0.752157,6.538620,0
-1.322371,7.152853,0
0.423363,11.054677,0
0.406704,7.067335,1
0.667394,12.741452,0
-2.460150,6.866805,1
0.569411,9.548755,0
'''
def loadFile():
    return np.loadtxt("data.txt",delimiter=",")

'''逻辑回归测试'''
def logRegresMain():
    print("step 1: loading data...")
    data =  loadFile()
    m = data.shape[0]*2//3
    train_x, train_y = data[:m,:2],data[:m,2:]
    test_x,test_y = data[m:,:2],data[m:,2:]

    print("step 2: training...")
    alpha = 0.0000001
    maxIter = 200000

    opts = {'alpha': alpha, 'maxIter': maxIter}
    optimalWeights = train_logRegres(train_x, train_y, opts)
    print("weight",optimalWeights)
    ## step 3: testing
    print("step 3: testing...")
    accuracy = test_LogRegres(optimalWeights, test_x, test_y)

    ## step 4: show the result
    print("step 4: show the result...")
    print('The classify accuracy is: %.3f%%' % (accuracy * 100))


if __name__=='__main__':
    logRegresMain()