Python包
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import power
from scipy.special import comb
相关知识
Bernoulli Experiment (伯努利试验)
对于一个试验（事件），如果重复发生的概率是独立的（互补影响），那么它是独立试验。特别的，如果这个试验只存在两种结果，则称其为伯努利试验。
Binomial Distribution (二项式分布)
对于重复
次的伯努利试验，我们可以计算成功
次的概率：
def BinomialDist(n, k, p=.5):
return comb(n, k) * power(p, k) * power(1-p, n-k)
e.g.
解：
验证一下我们的函数：
BinomialDist(10, 10) == power(0.5, 10)
True
e.g.
次是正面的概率？
ks = np.linspace(0, 10, 11) #ks=0,1,2,...,10
Plst = BinomialDist(10, ks)
plt.plot(Plst, '.')
plt.title(r'$P(X=k), X sim B(10,0.5)$')
plt.show()
从上图可以看出，
时候最大，这符合我们的预期：抛10次硬币，正面朝上的次数最有可能为5。即随机变量
，
。
简单证明一下
：
- 预备公式：
- 离散型随机变量 的期望：
- 这里 ，而
计算一下
，
ks相当于
，
Plst相当于
print('mean =', (ks*Plst).sum())
print('mean =', 10*0.5)
mean = 5.0
mean = 5.0
其他证明方法和方差（
）可以参考
二项分布的期望和方差的详细证明。
总结，如果随机变量
的概率
满足
二项式分布，则
。
定义
二项式分布
要求
必须为已知数，但是生活中很多事情是没法统计出或者不存在精确的总数，这些事情往往是在一段连续的时间内出现一定的次数，相互之间没有影响（随机发生），并且单次事件耗时和概率几乎可以忽略（只有出现或者未出现，类似二项式分布；任意时刻发生的概率几乎为0）。例如，
某个医院一天/一小时/一周内来的病人数量； 某个包子店一天/一小时/一周内卖出的包子数量，我们能得到只有一段时间内事情 发生的次数。
由于事情是随机发生的，也就是在统计的一定时间内，任意时刻都有可能发生，所以我们就要对二项式公式改进。假设一个小时内发生了
次，如果我们10分钟统计一次，总共统计
次，我们期待
，也就是
次需要分别散落在6个10分钟内，显然
次可能出现在一个10分钟内。那么1秒钟统计一次呢？还是不行，因为还是存在1秒钟发生
次的可能性。为了保证单位时间内最多只有一次事件发生，泊松分布将
，那么单次事件只能发生在
时间内。
我们可以统计出一段时间内出现的平均次数
，那么可以认为单次事件概率
，于是二项式分布就变成了：
其实
的定义就是（参见：
自然常数e的含义）：
而
。
最终泊松分布定义为：若
服从参数为
的泊松分布，记为
或
。
相关性质：
PMF与PDF
虽然
，并且公式也可以计算
的非整数，但是泊松分布还是针对离散型随机变量，所以上述公式又称为泊松分布的PMF（概率质量函数）。
- PMF（Probability Mass Function，概率质量函数）: 是对离散随机变量的定义。是离散随机变量在各个特定取值的概率。该函数通俗来说，就是对于一个离散型概率事件来说，使用这个函数来求它的各个成功事件结果的概率。
- PDF（Probability Density Function，概率密度函数 )：是对连续性随机变量的定义。与PMF不同的是，PDF在特定点上的值并不是该点的概率, 连续随机概率事件只能求一段区域内发生事件的概率, 通过对这段区间进行积分来求。通俗来说, 使用这个概率密度函数将想要求概率的区间的临界点（最大值和最小值）带入求积分，就是该区间的概率。
参数lambda
我们来看不同参数
的泊松分布情况。注意，由于是离散随机变量，所以我们对
只能取
的整数。
from scipy.special import factorial
Xs = np.linspace(0, 50, 51)
def PD(k, lmd):
return np.power(lmd, k) * np.exp(-lmd) / factorial(k)
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(Xs, PD(Xs, lmd=1), '*--', label=rf'$lambda=1$')
plt.plot(Xs, PD(Xs, lmd=5), '^--', label=rf'$lambda=5$')
plt.plot(Xs, PD(Xs, lmd=10), '.', label=rf'$lambda=10$')
plt.plot(Xs, PD(Xs, lmd=15), '+', label=rf'$lambda=15$')
plt.legend()
plt.show()
从上图中，可以看出，泊松分布围绕着
为中心的，而且
越大，越对称，也越像正态分布。
练习题
e.g.
与正态分布的关系
知乎上有个答案这样说的：
，当
很大时，可以近似相等。当
很大时（还没达到连续的程度），可以用泊松分布近似代替二项分布；当n再变大，几乎可以看成连续时，二项分布和泊松分布都可以用正态分布来代替！
乍一看，好像是这么回事，但是仔细想想我们本来就是假设
。从上面的实验中我们发现，
越大越接近正态分布。
简书上一篇blog认为：当发生次数
比较大的时候，泊松分布会变成均值为
，方差为
的正态分布：
个人认为这个结论也是明显不对，因为不论参数
，
都可以
。不过后半句话应该是对的。
根据这篇数学文章上的图（截取如下），当
也就是
和
时，变成了
：
这与我们的实验也是相符的。
