费马小定理，欧拉定理

定义

费马小定理是这样的，对于整数$a$，和质数$p$，如果$a$与$p$互质，那么有

$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$ $\quad$ $\quad$ $a^{p-1}=1\%p$
$\quad$欧拉将其上升为 $\quad$ $a^{p}=a\%p$

证明

$\quad$首先, 给定一个小于p的正整数的集合$X\{1,...,p-1\},$ 明显$p$与集合中所有的元素互质

用$a$乘以集合中所有的元素并对$p$取模, 那么我们可以得到集合$Y \{a\%p, 2a\%p, 3a\%p, ... , (p-1)a\%p\}$

明显$Y$中所有的元素都小于$p$并且由于$a$不能整除$$p, 所以$Y$中所有的元素都不等于$0$并且各个元素都不相等

这说明$X$和$Y$的构成相同, 只是元素的顺序不同
所以将两个集合的元素分别相乘

$((p-1)!)\%p = a^{p-1} * ((p-1)!)\% p$

两边约去$(p-1)!$即可得到$a^{p-1}=1\%p$

如果两边再同时乘以$a$的话就可以得到后面的$a^{p}=a\%p$

欧拉定理

$\quad$对任意互素的$a$和$n$,设$ϕ(n)$为小于$n$且与$n$互素的正整数的个数,

则：$\quad$ $\quad$ $\quad$ $a^{ϕ(n)}=1\%n$

$\quad$二者很像, 欧拉定理没有要求$n$必须是素数, 所以它让$ϕ(n)$来代替了集合$X$的作用, 因为二者的元素都是与$n$(或者说$p$)互素的。
$\quad$ 欧拉定理扩展：$a^{ϕ(n)+1}=a\%n$

证明：

首先，我们知道在$1$到$n$的数中，与$n$互质的一共有$φ(n)$个，所以我们把这$φ(n)$个数拿出来，放到设出的集合$X$中，即为$x1,x2……xφ(n)$。

那么接下来，我们可以再设出一个集合为$M$，设$M$中的数为：

$\{m_{1}=a*x_{1};m_{2}=a*x_{2};……m_{φ(n)}=a*x_{φ(n)}\}$

即：$M=\{m_{1},m_{2},;……m_{φ(n)}\}$

下面我们证明两个推理：

1. $\quad$这些数中的任意两个都不模$n$同余。
   因为如果有$m_{i}≡m_{j} (mod n)$
   (这里假定$m_{i}$更大一些)，就有:$m_{i}-m_{j}=a*(x_{i}-x_{j} )=qn$，
   即$n$能整除$a*(x_{i}-x_{j})$。但是$a$与$n$互质，$a$与$n$的最大公因子是$1$，而$x_{i}-x_{j}<n$,因而左式不可能被n整除。
   也就是说这些数中的任意两个都不模$n$同余，$φ(n)$个数有$φ(n)$种余数。
2. $M$中的数除$n$的余数都与$n$互质：
   我们知道$a,x_{i}$与$n$互质，则$a*x_{i}$ 与$n$互质，
   根据欧几里得：
   $gcd(a∗x_{i},n)=gcd(m_{i},n)=gcd(n,m_{i}\%n)$
   即： $\quad$ $gcd(n,a∗x_{i}\%n)=1$
   则 $\quad$ $n$与（$a*x_{i}）\%n$也互质 。
   那么这些数除$n$的余数，都在$x_{1},x_{2},x_{3}……x_{φ(n)}$中，因为这是$1-n$中与$n$互质的所有数，而余数又小于$n$.
   由上面的性质$2$可知：$M$中的数分别对应$X$中的每个数模$n$同余。

即：$m_{1} * m_{2} * ,;……* m_{φ(n)}≡x_{1} * x_{2} * …… * x_{φ(n)}(modn)$

把 $m_{i}$替换成$a*x_{i}$的形式可得：

$a*x_{1}*a*x_{2}*;……*a*x_{φ(n)}≡x_{1} * x_{2} * …… * x_{φ(n)}(modn)$

很显然，我们应该移项了，但是在移项之前，我们认为这么多的$a$很烦.

那么就先乘起来：

$a^{φ(n)}∗(x_{1}∗x_{2}……∗x_{φ(n)})≡x_{1}∗x_{2}……∗x_{φ(n)}(modn)$

移项可得：

$(a^{φ(n)}−1)∗(x_{1}∗x_{2}……∗x_{φ(n)})≡0(modn)$\

$x_{1}∗x_{2}……∗x_{φ(n)}$不可能为0，

则：$\quad$$\quad$$\quad$$a^{φ(n)}−1≡0(modn)$

得证：

$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$ $\quad$ $\quad$ $a^{φ(n)}≡1(modn)$