组合数

定义

$\quad$从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个组成一个集合（不考虑顺序），产生的不同集合数量就是组合数，记作 $C_n^m$

性质：

1通式： $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

$\quad$我们从 $n$ 个元素中取 $m$ 个，那么第 $1$ 个有 $n$ 种选法，第 $2$ 个有 $(n−1)$ 种选法，以此类推，第 $k(k∈[1,m])$ 个有 $(n−k+1)$种选法，故应 $\prod_{i=1}^{m}{(n−i+1)}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

$\quad$但是由于不考虑顺序，而最后选出的每一种方案都对应着 $m!$ 种顺序（因为有 $m$ 个），所以还要除以 $m!$，即最后的表达式为$\frac{n!}{m!(n-m)!}$.

2.$C_n^m=C_n^{n-m}$

$\quad$我们每次从 $n$ 个元素中取出 $m$ 个，那么剩下的 $(n−m)$个元素也组成一个集合，这两个集合一一对应，所以从 $n$ 个中取 $m$ 个和取 $(n−m)$

3.$C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$

$\quad$考虑是否取第 $n$ 个元素。若取第 $n$ 个元素，那我们就要从剩下的 $(n−1)($ 个元素中选出 $(m−1)$ 个来，即 $C_{n-1}^{m-1}$ 。同理，若不取第 $n$ 个元素，那我们就要从剩下的 $(n−1)$ 个元素中选出 $m$ 个来，即 $C_{n-1}^m$ 。加起来就是 $C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$。
这个公式可以让我们在 $O(n^{2)}$

4.$\sum_{i=0}^{n}{C_n^i}=2^{n}$（即：$C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^{n}$)

每个元素都有 $2$ 种取法（要么取，要么不取），所以总方案数是 $2^{n}$。

$\sum_{i=0}^{n}{C_n^i}$代表的就是总方案数，那就是 $2^{n}$

5.$\sum_{i=m}^{n}{C_i^m}=C_{n+1}^{m+1}$（即：$C_m^m+C_{m+1}^m+...+C_n^m=C_{n+1}^{m+1}$）

由于$C_m^m=C_{m+1}^{m+1}=1$

那么前两项就可以化成：$C_{m+1}^{m+1}+C_{m+1}^m$

通过性质3可知$C_{m+1}^{m+1}+C_{m+1}^m=C_{m+2}^{m+1}$，与第三项合并$C_{m+2}^m$合并得到$C_{m+3}^{m+1}$,依次类推到最后一项就是：$C_{n+1}^{m+1}$

这个公式的推论：$\sum_{i=l}^{r}{C_i^m}=C_{r+1}^{m+1}-C_{l}^{m+1}$

运用前缀和的思想：$\sum_{i=m}^{l-1}{C_i^m}=C_{l}^{m+1}$

$\sum_{i=m}^{r}{C_i^m}=C_{r+1}^{m+1}$。

所以：$\sum_{i=l}^{r}{C_i^m}=\sum_{i=m}^{r}{C_i^m}-\sum_{i=m}^{l-1}{C_i^m}=C_{r+1}^{m+1}-C_{l}^{m+1}$

那么运用这个公式可以求出“““一段”””组合数之和。

6.$(a+b)^{n}=\sum_{i=0}^{n}{C_n^ia^{i}b^{n-i}}$

使用数学归纳法证明：

当$n=1$时，$(a+b)^{1}=C_1^0a^{0i}b^{1}=a+b$成立。

现在假设当$n=m$时假设成立，那么当$n=m+1$时：

$(a+b)^{m+1}=(a+b)(a+b)^{m}$

$\quad$ $\quad$$\quad$ $\quad$ $=(a+b)\sum_{i=0}^{m}{C_m^ia^{i}b^{m-i}}$ $\quad$把$(a+b)$乘进去

$\quad$ $\quad$$\quad$ $\quad$ $=\sum_{i=0}^{m}{C_m^ia^{i+1}b^{m-i}}+\sum_{i=0}^{m}{C_m^ia^{i}b^{m-i+1}}$

$\quad$ $\quad$$\quad$ $\quad$ $=\sum_{i=1}^{m+1}{C_m^{i-1}a^{i}b^{m-i+1}}+\sum_{i=0}^{m}{C_m^ia^{i}b^{m-i+1}}$

$\quad$ $\quad$$\quad$ $\quad$ $=\sum_{i=0}^{m+1}{(C_m^{i-1}+C_m^i)a^{i}b^{m-i+1}}$

$\quad$ $\quad$$\quad$ $\quad$ $=\sum_{i=0}^{m+1}{C_{m+1}^ia^{i}b^{m+1-i}}$

得证。