杨辉三角形_递推公式杨辉三角形_递推公式杨辉三角形_递推公式杨辉三角形_递推公式杨辉三角形_杨辉三角_05

组合数和杨辉三角有着密切的关系。杨辉三角上的每一个数字都等于它的左上方和右上方的和(除了边界)

杨辉三角形_组合数_06


杨辉三角形_递推公式_07行,第杨辉三角形_递推公式_08个就是,就是杨辉三角形_组合数_09 (从杨辉三角形_递推公式_10开始)

所以以后求杨辉三角或者组合数都可以用到下面的递推公式:

Code:

const int N = 2000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int comb[N][N];//comb[n][m]就是C(n,m)
void init()
{
for(int i = 0; i < N; i ++)
{
comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
for(int j = 1; j < i; j ++)
{
comb[i][j] = comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1];
comb[i][j] %= MOD;
}
}
}

不过这个是杨辉三角形_组合数_11,有没有更简单的呢?肯定有,因为我们学了逆序数,所以我们可以直接求解:

Code:

ll fac[N], invn[N], invfac[N];

int init()
{
fac[0] = fac[1] = invfac[0] = invfac[1] = invn[0] = invn[1] = 1;
for (int i = 2; i <= 5000005; ++i)
{
fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
invn[i] = (mod - mod / i) * invn[mod % i] % mod; //逆元线性递推公式
invfac[i] = invfac[i - 1] * invn[i] % mod;
}
}

ll comb(ll n, ll m)
{
if (m > n)
return 0;
if (m < 0 || n < 0)
return 0;
ll res = fac[n];
res = res * invfac[n - m] % mod;
res = res * invfac[m] % mod;
return res;
}