Lucas定理证明

描述：

$\quad$当$n、m$为大数，$p$为素数时，Lucas定理是用来求 $C_n^m mod p$的值。适用领域范围：在数论中求大组合数取模。

通式：

$C_n^m=C_{n/p}^{m/p}∗C_{n\%p}^{m\%p}(mod(p))$
$p$为素数

证明:

已知$p$为素数,将非负整数$a$转化成$p$进制数:

$a=a_{k}p^{k}+a_{k−1}p^{k−1}+a_{k−1}p^{k−2}+....+a_{1∗k}+a_{0}$

由于p是素数对于 $1≤j≤p−1$,都有$C_p^j==\frac{p}{j}∗C_{p−1}^{j-1}≡0mod(p)$

由二项式定理：$(1+x)^{p}=\sum_{i=0}^{p}{C_p^i1^{i}x^{p-i}}=1+\sum_{i=1}^{p-1}{C_p^i}+x^{p}$

由上面的推理可得：$1+\sum_{i=1}^{p-1}{C_p^i}+x^{p}≡1+x^{p}mod(p)$

即：$(1+x)^{p}≡1+x^{p}mod(p)$ $\quad$ ①

设：$n=sp+q,m=tp+r$

$s=n/p,q=n\%p,t=m/p,r=m\%p$

$(1+x)^{n}=(1+x)^{sp+q}=(1+x)^{sp}∗(1+x)^{q}=((1+x)^{p})^{s}∗(1+x)^{q}$

代入公式①得:

$(1+x)^{n}=(1+x^{p})^{s}∗(1+x)^{q}mod(p)$

对$(1+x^{p})^{s}$ 和$(1+x^{p})^{s}∗(1+x)^{q}$分别使用二项展开式

$(1+x^{p})^{s}∗(1+x)^{q}=\sum_{i=0}^{s}{{ s\choose i }*x^{i*p}*\sum_{i=0}^{q}{{ q\choose j }}}mod(p)$

即:$(1+x)^{n}=\sum_{i=0}^{s}{{ s\choose i }*x^{i*p}*\sum_{i=0}^{q}{{ q\choose j }}}mod(p)$ $\quad$ ②

对$(1+x)^{n}$进行二项式展开：

$\quad$ $\quad$ $\quad$ $(1+x)^{n}=\sum_{i=0}^{sp+q}{{ sp+q\choose k }*x^{k}}$ $\quad$ ③

首先求③中的$x^{tp+r}$的系数为${ sp+q\choose tp+r }$

再求②中的$x^{tp+r}$我们发现，当且仅当$i=t,j=r$能够得到$x^{tp+r}$的系数，即为：${ s\choose t }{ q\choose r }$

即：

$\quad$ $\quad$ $\quad$${ sp+q\choose tp+r }={ s\choose t }{ q\choose r }(mod(p))$

即：

$\quad$ $\quad$ $\quad$${ n\choose m }={ n/p\choose m/p }{ nm\%p\choose m\%pr }(mod(p))$

即：

$\quad$ $\quad$ $\quad$ $C_n^m=C_{n/p}^{m/p}∗C_{n\%p}^{m\%p}(mod(p))$