文章目录
- 1.特征值和特征向量
- 2.矩阵的特征分解
- 3.直观理解
- 4.通过特征分解求逆矩阵
- 5.对特殊矩阵的矩阵分解
- 对称矩阵
- 参考
1.特征值和特征向量
线性代数中,特征分解(eigendecomposition)是将矩阵分解为由特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。
给定一个方阵
,我们认为在以下条件下,
是
的特征值,
是相应的特征向量:
直观地说,这个定义意味着将
乘以向量
会得到一个新的向量,该向量指向与
相同的方向,但按系数
缩放。值得注意的是,对于任何特征向量
和标量
,
,
也是一个特征向量。
因此,当我们讨论与
相关的特征向量时,我们通常假设特征向量被标准化为长度为1(这仍然会造成一些歧义,因为
和
都是特征向量,但我们必须接受这一点)。
我们可以重写上面的等式来说明
是
的特征值和特征向量的组合:
但是
只有当
有一个非空零空间时,同时
是奇异的,
才具有非零解,即:
现在,我们可以使用行列式的先前定义将表达式
扩展为
中的(非常大的)多项式,其中,
的度为
。它通常被称为矩阵
的特征多项式。
然后我们找到这个特征多项式的
(可能是复数)根,并用
表示。这些都是矩阵
的特征值,但我们注意到它们可能不明显。为了找到特征值
对应的特征向量,我们只需解线性方程
,因为
是奇异的,所以保证有一个非零解(但也可能有多个或无穷多个解)。
应该注意的是,这不是实际用于数值计算特征值和特征向量的方法(记住行列式的完全展开式有
项),这是一个数学上的争议。
以下是特征值和特征向量的属性(所有假设在
具有特征值
的前提下):
- 的迹等于其特征值之和
- 的行列式等于其特征值的乘积
- 的秩等于
- 的非零特征值的个数
- 假设
- 非奇异,其特征值为
- 和特征向量为
- 。那么
- 是具有相关特征向量
- 的
- 的特征值,即
- 。(要证明这一点,取特征向量方程,
- ,两边都左乘
- )
- 对角阵的特征值
- 实际上就是对角元素
注意:只有可对角化矩阵才能特征分解
2.矩阵的特征分解
令
是一个
的方阵,且有
个线性独立的特征向量
,A可以被分解为
其中
是
方阵,且第
列
的特征向量
。
是对角矩阵,其对角线上的元素为对应的特征值,即
一般而言,特征向量
被单位化,但是未被单位化的特征向量
也可以作为
的列向量。可以理解为
中向量的长度被
抵消了。
3.直观理解
先说结论
将向量看作空间中一个点,矩阵可视作点的运动,对于可以矩阵分解的矩阵:
- 特征值就是运动的速度
- 特征向量就是运动的方向
令矩阵
将
左乘一个单位矩阵
,即
我们看下向量
发生了什么变换
向量
,向量
可以看出,
分别逆时针旋转
怎么办到的呢?给定要给一个题目,将二维平面上一点逆时针旋转
,求旋转后得坐标。可以解得:
令
比对一下上式与
,会发现两者相同,所以,
得作用就是将单位矩阵每个列向量逆时针旋转
对角矩阵
则是将向量沿着特征向量的方向放缩,
再将旋转的向量还原回去。
4.通过特征分解求逆矩阵
若矩阵
可被特征分解且特征值中不含
,则矩阵
为非奇异矩阵,且其逆矩阵
因为
为对角矩阵,其逆矩阵容易计算出
5.对特殊矩阵的矩阵分解
对称矩阵
任意的实对称矩阵的特征值都是实数且有
个线性无关的特征向量,并且这些特征向量都可以正交单位化得到一组正交且模长为1的向量。实对称矩阵可被分解成
为正交矩阵,
为实对角矩阵
参考