题目描述

斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波那契数列以如下被以递推的方法定义:F(0)=0,F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)(n ≥ 2,n ∈ N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从 1963 年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果。

解法一:通项公式(O(1))

斐波那契数列的四种解法_ios


代码表示:

int ferbo(int n){
return (sqrt(5)/5)*(pow((1+sqrt(5))/2,n)-pow((1-sqrt(5))/2,n));
}

解法二:递归求解(O(1.618^n))

#include<iostream>
using namespace std;

int fac(int x){
if(x==1 || x==2){
return 1;
}
if(x>2){
return fac(x-1)+fac(x-2);
}
return 0;
}
int main()
{
for(int i = 1; i<=20;i++){
cout<<fac(i)<<" ";
}
cout<<endl;
return 0;
}

//1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

解法三:动态规划(O(n))

#include<iostream>
using namespace std;
int fac[20];
int main()
{
fac[1]=fac[2]=1;
for(int i = 3;i<=20;i++){//此处使用变量a,b,c也可。
fac[i] = fac[i-1]+fac[i-2];
}
for(int i = 1;i <=20;i++){
cout<<fac[i]<<" ";
}
cout<<endl;
return 0;
}
//1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

解法四:矩阵快速幂(O(logn))

矩阵公式
F(n+1)=1*F(n)+1*F(n-1)
F(n)=1*F(n)+0*F(n-1)
F(n)=1*F(n-1)+1*F(n-2)
F(n-1)=1*F(n-1)+0*F(n-2)

推导:

斐波那契数列的四种解法_线性代数_02


结论:只需要求出

,输出a[0][1] 或a[1] [0]都是F(n)的解.

斐波那契数列的四种解法_ios_03

快速幂

mod c只是为了防止数过大,不利于计算. 当数很小 时,加不加没啥区别.

斐波那契数列的四种解法_ios_04


例如求a^n, (a=2)初始时,ans=1;

  • 如果n=4,则计算步骤如下:
a=a*a=a^2   n=n/2=2
a=a*a=a^2 * a^2 = a^4 n=n/2=1
ans=ans*a=a^4
  • 如果n=5,则计算步骤如下
因为n为奇数==>ans=ans*a    a=a*a=a^2   n=n/2=2
a=a*a=a^2 * a^2 = a^4 n=n/2=1
ans=ans^a=a^5
  • 如果n=9,则计算步骤如下
因为n为奇数==>ans=ans*a    a=a*a=a^2   n=n/2=4
a=a*a=a^4 n=n/2=2
a=a*a=a^8 n=n/2=1
ans=ans^a=a^9

这样就把8次运算减少到了四次.而且也放置了数值过大的问题.

总结:当n为奇数时,ans=ans*a,这样相等于n-1变成了偶数.

快速幂代码

#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
int n,p,ans=1,a=2;
cin>>n>>p;
while(n) {
if(n&1) {
ans = ans * a %p;
}
a *= a % p;
n/=2;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
//16 1000000
//65536
矩阵快速幂

斐波那契数列的四种解法_ios_05


斐波那契数列的四种解法_#include_06

矩阵乘法:

原理:矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的栏数(column)和第二个矩阵的列数(row)相同时才有定义。一般单指矩阵乘积时,指的便是一般矩阵乘积。若A为m×n矩阵,B为n×p矩阵,则他们的乘积AB会是一个m×p矩阵。其乘积矩阵的元素如下面式子得出:

斐波那契数列的四种解法_线性代数_07


实现代码:

struct mat{
int n, m;
double data[MAXN][MAXN];
};

int mul(mat& c, const mat& a, const mat& b){
int i, j, k;
if (a.m != b.n)
return 0;
c.n = a.n;
c.m = b.m;
for (i = 0; i < c.n; i++)
for (j = 0; j < c.m; j++)
for (c.data[i][j] = k = 0; k < a.m; k++)
c.data[i][j] += a.data[i][k] * b.data[k][j];
return 1;
}

例题:POJ3070

​以上内容参考自 陈小玉老师的数据结构与算法 365天特训营​