Lucas 定理 [证明][模板]

原创

qq62c30ac77b2a7 2022-07-05 12:03:12 ©著作权

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Lucas 定理

$\LARGE C_n^m\equiv C_{i}^{j} * C_{a}^{b}(mod p)$

其中 i = n/p , j = m/p , a = n % p , b = m % p

证明

令n = ( $\small a_ka_k-1...a_1a_0$ )p

首先有

$(x+1)^p\equiv \sum _{k=0}^pC_p^kx^k\equiv 1+x^p(modp)$

所以

$(x+1)^n\equiv (x+1)^{pi}(x+1)^{a}\equiv (1+x^p)^i(x+1)^a\equiv [\sum_{k=0}^iC_{i}^kx^{pk}][\sum_{l=0}^{a}C_a^lx^l]$

对于左边的第m位的系数 , 即x^m 的系数是C(n,m)

而对于右边 , x^m 的系数是 $C_{i}^k*C_{a}^{l}(pk+l=m)$ , 即k = m/p , l = m%p

证毕

模板题

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200050
#define LL long long
using namespace std;
LL T,n,m,p; LL fac[N],inv[N];
LL power(LL a,LL b,LL mod){
  LL ans=1; for(;b;b>>=1){ if(b&1) ans=(ans*a) % p; a = (a*a) % p;} return ans;  
}
LL C(LL a,LL b,LL mod){
  if(b>a) return 0;
  return ((fac[a] * power(fac[a-b], mod-2, mod)) % mod * power(fac[b], mod-2, mod)) % mod;
}
LL Lucas(LL x,LL y,LL mod){
  if(y==0) return 1;
  if(x<mod && y<mod) return C(x,y,mod);
  else return (Lucas(x/mod,y/mod,mod) * C(x%mod,y%mod,mod)) % mod;
}
void Solve(){
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
  fac[0] = fac[1] = 1;
  for(int i=2;i<=n+m;i++) fac[i] = (fac[i-1] * i) % p;
  printf("%lld\n",Lucas(n+m,m,p));
}
int main(){
  scanf("%d",&T); while(T--) Solve(); return 0;
}