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坐标系平移

这部分内容是本人主观看法

  • 正确性有待验证

  • 更一般的,有

$$

$$

函数的左右平移

  • 中学的时候,有句关于函数平移的话:

我们记平移前的函数为f(x),平移后的函数为g(x)

平移的距离记为d

  • 左加右减
  • 上加下减
  • math_函数图像的变换&坐标系平移变换&奇偶函数之间组合与复合后的奇偶性/周期函数的性质_math_20

  • 函数图像平移可以理解为,函数图像上的所有点沿着同一个方向平移相同的距离
  • 假设这个距离为d

对于右平移

从代数坐标角度来看

  • 取图像上的任意一点,经过平移后的点
  • 又因为仅仅是水平平移(左/右平移是水平平移),平移前后两个点的纵坐标保持相等

这个过程,不失一般性,则


  • 下面对该式进行变形
  • 配凑法
  • 换元法
  • 将t,x分别替换
  • 我们将自变量t改写为x,

  • 这就是​​右减​​的含义

整理:从图像的角度(图像点坐标回退/前进)

图像的角度,更确切的说,是图像上的点的平移的角度来看

  • f(x)图像向右平移距离d,得到的图像是函数g(x)的图像
  • ,即
  • 该条件是不失一般性的,所以,可以用一般性的x代替具体的,从而:

左平移

  • 类似右平移的分析

翻转变换

  • 我们像研究其他图像在坐标系上的变换那样,研究点来间接研究线(图像变换)

The graph of is the mirror image of the graph of with respect to the vertical axis.
The graph of is the mirror image of the graph of with respect to the horizontal axis.

A function is called even if for all x (For example, cos(x)).
A function is called odd if

和上面的分析类似,取点分析

奇偶性

推导方法

  • 均可以通过奇偶函数的定义来直白推导

函数记号声明

  • 设函数
  • ;

和差

  • 可见,奇函数相加减,得到的新函数还是奇函数
  • 奇函数偶函数的结果没有一般性的定论

乘积

  • 推导方法类似于乘积部分
  • 或者利用复合性结论,转化为乘法

奇偶函数间复合函数的奇偶性

讨论具体情况:

  • 为了便于提高推导效率,
  • 特例助记:

奇偶性小结

和差小结

乘积和商小结

  • 乘法和除法运算得到的新函数的奇偶性判定方式十分一致
  • 奇偶性相同的函数乘积或商的奇偶性是​​偶函数​
  • 奇偶性不同的函数乘积或商的奇偶性是​​奇函数​
  • 类似与​​异或运算​

奇偶函数复合小结

  • 仅在奇函数相互复合的情况下才得到奇函数
  • 而对于奇偶函数复合的其他情况中,复合函数中无论是外层还是内层,只要由一个是偶函数,那么复合结果就是偶函数
  • 类似于复合与运算

推广

  • 利用类似的推导方式
  • 或者反复使用上述已经得到的结论,可以得到

定义域对称于原点的函数与奇偶函数间的关系

倍乘非零常数不改变奇偶性

  • 可见,