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打家劫舍II

问题描述

213. 打家劫舍 II

你是一个专业的小偷,计划偷窃沿街的房屋,每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都围成一圈 ,这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时,相邻的房屋装有相互连通的防盗系统,如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入,系统会自动报警 。给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组,计算你在不触动警报装置的情况下 ,今晚能够偷窃到的最高金额。

示例:

输入:nums = [2,3,2]

输出:3

解释:你不能先偷窃 1 号房屋(金额 = 2),然后偷窃 3 号房屋(金额 = 2), 因为他们是相邻的。

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分析问题

这道题和上一道的不同之处在于房屋的首尾是相连的,即第一间房屋和最后一间房屋是相邻的,因此它们不能被同时偷窃。

我们也可以和上一道题的思路一样,采用动态规划的方法来求解。首先先将问题简单化,假设此时只有一间房屋,则偷窃该房屋,此时就是偷窃到的最高总金额。如果只有两间房屋,因为此时两间房屋相邻,只能偷窃其中的一间房屋,可以选择其中金额较高的房屋进行偷窃,就是可以偷窃到的最高总金额。

到这里我们可以注意到,当房屋数量不超过两间时,最多只能偷窃一间房屋,因此我们不需要考虑首尾连接的问题。但是,如果房屋数量大于二间时,就必须要考虑该限制条件了,即第一间房屋和最后一间房屋不能同时被偷窃。那么如何才能保证第一间房屋和最后一间房屋不能同时被偷窃呢?这里可以分情况来讨论。

  • 如果偷窃了第一间房屋,那么就不能偷窃最后一间房屋,因此可以偷窃的房屋的范围是第一间房屋到倒数第二间房屋。
  • 如果偷窃了最后一间房屋,那么就不能偷窃第一间房屋,因此可以偷窃的房屋的范围是第二间房屋到最后一间房屋。

我们假设数组 nums 的长度为n。如果不偷窃最后一间房屋,则可以偷窃的房屋的下标是0~n-2;如果不偷窃第一间房屋,则可以偷窃的房屋的下标是1~n-1。

接下来我们就可以采用上一题的解法,对于两段下标范围分别计算可以偷窃到的最高总金额,其中的最大值即为在 n 间房屋中可以偷窃到的最高总金额。

下面我们来看一下代码的实现。

class Solution:
    def rob(self, nums):
        #求nums[start,end]范围内可以偷窃到的最大金额
        def help(start, end):
            first = nums[start]
            second = max(nums[start], nums[start + 1])
            for i in range(start + 2, end + 1):
                first, second = second, max(first + nums[i], second)
            return second

        length = len(nums)
        #边界条件
        if length == 1:
            return nums[0]
        elif length == 2:
            return max(nums[0], nums[1])
        else:
            return max(help(0, length - 2), help(1, length - 1))

该算法的时间复杂度是O(n),空间复杂度是O(1)。
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