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打家劫舍I

问题描述

你是一个专业的小偷,计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金,影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统,如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入,系统会自动报警。给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组,计算你不触动警报装置的情况下 ,一夜之内能够偷窃到的最高金额。 示例: 输入:[1,2,3,1] 输出:4 解释:偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ,然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

分析问题

首先,我们先将问题简化处理。假设目前只有一间房屋,则偷窃该房屋,此时就是偷窃到的最高总金额。如果只有两间房屋,因为此时两间房屋相邻,只能偷窃其中的一间房屋,可以选择其中金额较高的房屋进行偷窃,就是可以偷窃到的最高总金额。如果房屋的数量大于两间,假设小偷此时处于第k(k>2)间房屋,那么他有两个选择。

  • 如果他偷窃第k间房屋,那么他就不能偷窃第k-1间房屋,此时其能偷窃到的总金额为前k-2间房屋的最高总金额和第k间房屋的金额之和。
  • 如果他不偷窃第k间房屋,那么此时其能偷窃到的总金额为前k-1间房屋的最高总金额。

在上述两个选项中选择金额较大的即为前k间房屋能偷窃到的最高总金额。 我们用 dp[i] 来表示前 i 间房屋能偷窃到的最高总金额,经过前面的分析,可以知道其状态转移方程为: dp[i] = max( dp[i-2] + nums[i] , dp [i-1]) 下面我们来看一下边界条件。

  • 当只有一间房屋时,此时dp[0] = nums[0],表示偷窃该房屋。
  • 当只有两间房屋时,此时 dp[1] = max(nums[0] , nums[1]),即在这两间房屋中选择金额较大的房屋进行偷窃。

下面我们来看一下代码的实现。

class Solution:
def rob(self, nums):
#如果数组为空,则直接返回0
if not nums:
return 0

length = len(nums)
#如果房屋数量等于1
#则直接偷窃第一间房屋,
#所以此时能偷窃到的最大金额是nums[0]
if length == 1:
return nums[0]
dp = [0] * length
#边界条件
dp[0] = nums[0]
dp[1] = max(nums[0], nums[1])

for i in range(2, length):
dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1])

return dp[length - 1]

该算法的时间复杂度是O(n),空间复杂度也是O(n)。 通过观察,我们发现dp[i] 只和 dp[i-2] 和 dp[i-1]有关,即只和该房屋的前两间房屋的最高总金额相关,所以我们可以使用滚动数组,在每个时刻只需要存储前两间房屋的最高总金额即可,从而降低空间复杂度。我们来看一下代码的实现。

class Solution:
def rob(self, nums):
#如果数组为空,则直接返回0
if not nums:
return 0


length = len(nums)
#如果房屋数量等于1
#则直接偷窃第一间房屋,
#所以此时能偷窃到的最大金额是nums[0]
if length == 1:
return nums[0]

#边界条件
first, second = nums[0], max(nums[0], nums[1])

for i in range(2, length):
first, second = second, max(first + nums[i], second)

return second

该算法的时间复杂度是O(n),空间复杂度是O(1)。


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