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首先,我们来看两张图。

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小插曲:不知道你有没有发现这个图和微软的图标好像啊~

问题描述

有一个 NxN 整数矩阵,请编写一个算法,将矩阵顺时针旋转90度。

要求:时间复杂度O(N^2),空间复杂度是O(N^2)。

进阶:时间复杂度是O(N^2),空间复杂度是O(1)

示例:

[                                                       [     
  [ 5, 1, 9,11],                旋转90度后                  [15,13, 2, 5],
  [ 2, 4, 8,10],              ============>                [14, 3, 4, 1],
  [13, 3, 6, 7],                                           [12, 6, 8, 9], 
  [15,14,12,16]                                            [16, 7,10,11]
]                                                        ]

分析问题

对于矩阵中的第一行元素来说,在经过90度旋转后,出现在了倒数第一列的位置上,如下图所示。

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并且,第一行的第 i 个元素在旋转后恰好是倒数第一列的第 i 个元素。对于第二行的元素也是如此,在旋转后变成倒数第二列的元素,并且第二行的第i个元素在旋转后恰好是倒数第二列的第i个元素。所以,我们可以得出规律,对于矩阵中第 i 行的第 j 个元素,在旋转后,它出现在倒数第 i 列的第 j 个位置,即对于矩阵中的 matrix[i] [j] 元素,在旋转后,它的新位置为 matrix [j] [n-i-1]。

所以,我们申请一个大小为 n * n 的新矩阵,来临时存储旋转后的结果。我们通过遍历matrix中的所有元素,根据上述规则将元素存放到新矩阵中的对应位置。在遍历完成后,再将新矩阵中复制到原矩阵即可。下面我们来看一下代码实现。

class Solution(object):
    def rotate(self, matrix):
        """
        :type matrix: List[List[int]]
        :rtype: None Do not return anything, modify matrix in-place instead.
        """
        #矩阵的大小
        n = len(matrix)
        #申请一个辅助矩阵
        temp = [[0] * n for _ in range(n)]
        #遍历矩阵中的所有元素,放到辅助矩阵的相应位置中
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                temp[j][n - i - 1] = matrix[i][j]

        #将辅助矩阵复制给矩阵
        matrix[:] = temp

该算法的时间复杂度是O(N^2),空间复杂度O(N^2)。

进阶

那我们如何在不使用辅助空间的情况下,实现矩阵的原地旋转呢?我们来看一下方法一中为什么要引入辅助空间,对于matrix中的元素,我们使用公式temp[j] [n - i - 1] = matrix[i] [j]进行旋转,如果不申请辅助矩阵,我们直接把元素 matrix[i] [j],放到矩阵 matrix[j] [n - i - 1]位置,原矩阵中的matrix[j] [n - i - 1]元素就被覆盖了,这显然不是我们要的结果。

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当知道了如何原地旋转矩阵之后,这里还有一点需要明确:我们应该选取哪些位置进行上述的原地交换操作呢?通过上面的分析可以知道,一次可以原地交换四个位置,所以:

  1. 当n为偶数时,我们需要选取 n^2 / 4 = (n/2) * (n/2)个元素进行原地交换操作,可以将该图形分为四块,可以保证不重复、不遗漏旋转所有元素;
  2. 当n为奇数时,由于中心的位置经过旋转后位置不变,我们需要选取 (n^2-1)/4=(n-1)/2 (n+1) /2个元素进行原地交换操作,我们以55的矩阵为例,可以按照以下方式划分,进而保证不重复、不遗漏的旋转所有元素。

image-20211025183007908.png

下面我们来看一下代码的实现。

class Solution(object):
    def rotate(self, matrix):
        #矩阵的大小
        n = len(matrix)
        for i in range(n // 2):
            for j in range((n + 1) // 2):
                #进行一轮原地旋转,旋转4个元素
                temp = matrix[i][j]
                matrix[i][j] = matrix[n - j - 1][i]
                matrix[n - j - 1][i] = matrix[n - i - 1][n - j - 1]
                matrix[n - i - 1][n - j - 1] = matrix[j][n - i - 1]
                matrix[j][n - i - 1] = temp

该算法的时间复杂度是O(n^2),空间复杂度是O(1)。