作者:长行

时间:2020.05.14

Github原文: Week-03/Example-0303

目标要求

对于任意给定的四张扑克牌,计算是否有赢得24点游戏的方法(即使用加、减、乘、除四则运算凑成24的方法);如果有的话,列出所有可能的方法。

【24点游戏规则】

在大小王以外的52张牌中,任意抽取其中4张牌。如果通过加、减、乘、除四则运算(可加括号)的方法,将抽到的4张牌算成24,则为胜利;每张牌都必须使用,且只能使用一次。

第一种解法

依据游戏规则,我们可以想到如下解决思路:使用枚举的方法,将所有的计算方法都枚举出来,将四张扑克牌的数字代入到所有的计算方法中得出结果,如果结果为24则为解。

由此,我们得到了第一种解法。在具体实现中:将所有可能的四则运算组合和所有可能的括号组合合并在一起,由此生成所有可能的算式组合。计算某一个牌组时,先计算所有该牌组所有可能的组合方式,并将所有的组合方式带入所有可能的算式组合求解。

import itertools

class CardGaming:
    def __init__(self):
        self.formula_list = list()  # 存储所有可能的算式
        for marks in itertools.product(["+", "-", "*", "/"], repeat=3):
            for bracket in ["{0}%s{1}%s{2}%s{3}", "({0}%s{1})%s{2}%s{3}", "({0}%s{1}%s{2})%s{3}",
                            "{0}%s({1}%s{2})%s{3}",
                            "{0}%s({1}%s{2}%s{3})", "({0}%s{1})%s({2}%s{3})", "{0}%s{1}%s({2}%s{3})"]:
                self.formula_list.append((bracket % marks))

    def solve(self, card_probability):
        answer = []
        for card_order in set(itertools.permutations(card_probability, 4)):  # 遍历所有可能的不同卡牌顺序(最多24种可能)
            for formula in self.formula_list:  # 遍历所有可能的算式(448种可能)
                final_formula = formula.format(*card_order)
                try:
                    if round(eval(final_formula), 3) == 24:
                        answer.append(final_formula)
                except ZeroDivisionError:
                    continue
        return answer

if __name__ == "__main__":
    print(CardGaming().solve((3, 3, 8, 8)))  # 输出: 8/(3-8/3)

当前代码在计算每一个牌组的答案时,都需要遍历 4 3 × 7 = 448 4^3\times{7}=448 43×7=448种算式和最多 A 4 4 = 24 A^4_4=24 A44=24种卡牌顺序,即处理最多 448 × 24 = 10752 448\times{24}=10752 448×24=10752种可能性。使用这个解法计算所有可能的扑克牌组合(共计 1 3 4 = 28561 13^4=28561 134=28561种解法),需要1906秒(I7 7700,8GB)。

第二种解法

在第一种解法中,计算每一个牌组的答案时,处理的可能性中有很多重复的情况,例如“A+B-C+D”、“D-C+B+A”、“D+A-C+B“等。这就极大地拖累了我们的运算速度。但是,要在第一种解法的基础上来合并这些不同的情况,需要同时考虑符号、括号和卡牌顺序,十分复杂。

因此,我们可以从另外一个角度来解决这个问题。

通过观察我们可以发现,无论什么算式,本质上都是按着一定的顺序,对4张扑克牌的数值进行三次运算;而每一次运算,都是从尚未用过的扑克牌以及之前的运算结果中选择2个进行运算。所以,我们可以将所有算式归纳为:

从4张牌中任意抽取2个进行任意运算,将未抽取的2张牌和运算结果组合成包含3个数值的新列表;在新列表中任意抽取2个进行任意运算,将未抽取的1张牌和运算结果组成包含2个数值的新列表;对新列表中的2个数值进行任意运算得出结果,如果结果为24则为解。

由此,我们得到了第二种算法。在具体实现中,我们主要注意如下几点:

  • 因为不再枚举算式,所以我们也不再需要使用低效的eval()函数运行算式。
  • 因为如果在运算过程中生成算式,会增加很多运算量,所以我们只在求出解后反向生成解的算式(哪怕这样生成算式会更困难,但是需要生成的次数大大减少)。
def solve(card_probability):
    card_probability = list(card_probability)  # 生成临时列表
    answer = []
    for combine_1 in set(itertools.combinations(card_probability, 2)):  # 在临时列表的4个数中任意抽取2个数
        for answer_1 in all_maybe_count_answer(combine_1[0], combine_1[1]):
            card_list_1 = copy.deepcopy(card_probability)
            card_list_1.remove(combine_1[0])  # 从临时列表移除抽到的数1
            card_list_1.remove(combine_1[1])  # 从临时列表移除抽到的数2
            card_list_1.append(answer_1)  # 添加计算结果到临时列表
            for combine_2 in set(itertools.combinations(card_list_1, 2)):  # 在临时列表的3个数中任意抽取2个数
                for answer_2 in all_maybe_count_answer(combine_2[0], combine_2[1]):
                    card_list_2 = copy.deepcopy(card_list_1)
                    card_list_2.remove(combine_2[0])  # 从临时列表移除抽到的数1
                    card_list_2.remove(combine_2[1])  # 从临时列表移除抽到的数2
                    card_list_2.append(answer_2)  # 添加计算结果到临时列表
                    for combine_3 in set(itertools.combinations(card_list_2, 2)):  # 抽取临时列表剩下的2个数
                        for answer_3 in all_maybe_count_answer(combine_3[0], combine_3[1]):
                            if round(answer_3, 3) == 24:
                                answer.append(total_formula(card_probability, combine_1, answer_1, combine_2,
                                                            answer_2, combine_3, answer_3))  # 生成完整算式
    return answer


if __name__ == "__main__":
    start_time = time.time()
    for cards in list(itertools.product([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13], repeat=4)):
        solve(cards)
    print("计算时间:", time.time() - start_time)

(其中all_maybe_count_answer函数计算两个参数进行四则运算的所有可能结果;total_formula函数依据中间变量生成完整计算公式)

运行结果:

计算时间: 136.27595901489258

这种接法在第一次四则运算时,有 C 4 2 = 6 C^2_4=6 C42=6种抽取结果,有6种运算结果(减法和除法因顺序不同有2个结果);在第二次四则运算时,有 C 3 2 = 3 C^2_3=3 C32=3种抽取结果,有6种运算结果;在第三次四则运算时,有 C 2 2 = 1 C^2_2=1 C22=1种抽取结果,有6种运算结果。

因此,这种算法在求一个扑克牌组的解时,仅需要考虑 C 4 2 × 6 × C 3 2 × 6 × C 2 2 × 6 = 3888 {C^2_4}\times{6}\times{C^2_3}\times{6}\times{C^2_2}\times{6}=3888 C42×6×C32×6×C22×6=3888种可能性。使用这个解法计算所有可能的扑克牌组合(共计 1 3 4 = 28561 13^4=28561 134=28561种解法),需要136秒(I7 7700,8GB),比第一种解法快了10倍以上。