1、概述

  给定4个整数,当中每一个数字仅仅能使用一次;随意使用 + - * / ( ) ,构造出一个表达式,使得终于结果为24,这就是常见的算24点的游戏。这方面的程序非常多,一般都是穷举求解。本文介绍一种典型的算24点的程序算法,并给出两个详细的算24点的程序:一个是面向过程的C实现,一个是面向对象的java实现。

  2、基本原理

  基本原理是穷举4个整数全部可能的表达式,然后对表达式求值。

  表达式的定义: expression = (expression|number) operator (expression|number)

  由于能使用的4种运算符 + - * / 都是2元运算符,所以本文中仅仅考虑2元运算符。2元运算符接收两个參数,输出计算结果,输出的结果參与兴许的计算。

  由上所述,构造全部可能的表达式的算法例如以下:

  (1) 将4个整数放入数组中

  (2) 在数组中取两个数字的排列,共同拥有 P(4,2) 种排列。对每个排列,

  (2.1) 对 + - * / 每个运算符,

  (2.1.1) 依据此排列的两个数字和运算符,计算结果

  (2.1.2) 改表数组:将此排列的两个数字从数组中去除掉,将 2.1.1 计算的结果放入数组中

  (2.1.3) 对新的数组,反复步骤 2

  (2.1.4) 恢复数组:将此排列的两个数字增加数组中,将 2.1.1 计算的结果从数组中去除掉

  可见这是一个递归过程。步骤 2 就是递归函数。当数组中仅仅剩下一个数字的时候,这就是表达式的终于结果,此时递归结束。

  在程序中,一定要注意递归的现场保护和恢复,也就是递归调用之前与之后,现场状态应该保持一致。在上述算法中,递归现场就是指数组,2.1.2 改变数组以进行下一层递归调用,2.1.3 则恢复数组,以确保当前递归调用获得下一个正确的排列。

  括号 () 的作用仅仅是改变运算符的优先级,也就是运算符的计算顺序。所以在以上算法中,无需考虑括号。括号仅仅是在输出时需加以考虑。

  3、面向过程的C实现

  这是 csdn 算法论坛前版主海星的代码,程序很简练、精致:

#include  
#include  
#include  
using namespace std; 
const double PRECISION = 1E-6; 
const int COUNT_OF_NUMBER  = 4; 
const int NUMBER_TO_BE_CAL = 24; 
double number[COUNT_OF_NUMBER]; 
string expression[COUNT_OF_NUMBER]; 
bool Search(int n) 
{ 
    if (n == 1) { 
        if ( fabs(number[0] - NUMBER_TO_BE_CAL) < PRECISION ) { 
            cout << expression[0] << endl; 
            return true; 
        } else { 
            return false; 
        } 
    } 
    for (int i = 0; i < n; i++) { 
        for (int j = i + 1; j < n; j++) { 
            double a, b; 
            string expa, expb; 
            a = number[i]; 
            b = number[j]; 
            number[j] = number[n - 1]; 
            expa = expression[i]; 
            expb = expression[j]; 
            expression[j] = expression[n - 1]; 
            expression[i] = '(' + expa + '+' + expb + ')'; 
            number[i] = a + b; 
            if ( Search(n - 1) ) return true; 
            
            expression[i] = '(' + expa + '-' + expb + ')'; 
            number[i] = a - b; 
            if ( Search(n - 1) ) return true; 
            
            expression[i] = '(' + expb + '-' + expa + ')'; 
            number[i] = b - a; 
            if ( Search(n - 1) ) return true; 
                        
            expression[i] = '(' + expa + '*' + expb + ')'; 
            number[i] = a * b; 
            if ( Search(n - 1) ) return true; 
            if (b != 0) { 
                expression[i] = '(' + expa + '/' + expb + ')'; 
                number[i] = a / b; 
                if ( Search(n - 1) ) return true; 
            }  
            if (a != 0) { 
                expression[i] = '(' + expb + '/' + expa + ')'; 
                number[i] = b / a; 
                if ( Search(n - 1) ) return true; 
            } 
            number[i] = a; 
            number[j] = b; 
            expression[i] = expa; 
            expression[j] = expb; 
        } 
    } 
    return false; 
} 
void main() 
{ 
    for (int i = 0; i < COUNT_OF_NUMBER; i++) { 
        char buffer[20]; 
        int  x; 
        cin >> x; 
        number[i] = x; 
        itoa(x, buffer, 10); 
        expression[i] = buffer; 
    } 
    if ( Search(COUNT_OF_NUMBER) ) { 
        cout << "Success." << endl; 
    } else { 
        cout << "Fail." << endl; 
    }         
} 

  使用任一个 c++ 编译器编译就可以。

  这个程序的算法与 2、基本原理所述的算法基本同样。当中 bool Search(int n) 就是递归函数,double number[] 就是数组。程序中比較重要的地方解释例如以下:

  (1) string expression[] 存放每一步产生的表达式,最后的输出中要用到。expression[] 与 number[] 相似,也是递归调用的现场,必须在下一层递归调用前改变、在下一层递归调用后恢复。

  (2) number[] 数组长度仅仅有4。在 search() 中,每次取出两个数后,使用局部变量 a, b 保存这两个数,同一时候数组中增加运算结果,并调整数组使得有效的数字都排列在数组前面。在下一层递归调用后,利用局部变量 a, b 恢复整个数组。对 expression[] 的处理与 number[] 相似。

  (3) 由于 + * 满足交换率而 - / 不满足,所以程序中,从数组生成两个数的排列,

  for (int i = 0; i < n; i++) {

  for (int j = i + 1; j < n; j++) {

  其内层循环 j 是从 i+1 -> n,而非从 0->n ,由于对于交换率来说,两个数字的顺序是无所谓的。当然,循环内部对 - / 做了特殊处理,计算了 a-b b-a a/b b/a 四种情况。

  (4) 此程序仅仅求出第一个解。当求出第一个解时,通过层层 return true 返回并输出结果,然后程序结束。

  (5) 以 double 来进行求解,定义精度,用以推断是否为 24 。考虑 (5-1/5)*5 这个表达式就知道这么做的原因了。

  (6) 输出时,为每一个表达式都加入了括号。