之前说过回溯算法是笔试中最好用的算法,只要你没什么思路,就用回溯算法暴力求解,即便不能通过所有测试用例,多少能过一点。

回溯算法的技巧也不难,前文 回溯算法框架套路 说过,回溯算法就是穷举一棵决策树的过程,只要在递归之前「做选择」,在递归之后「撤销选择」就行了。

但是,就算暴力穷举,不同的思路也有优劣之分。

本文就来看一道非常经典的回溯算法问题,子集划分问题,可以帮你更深刻理解回溯算法的思维,得心应手地写出回溯函数。

题目非常简单:

给你输入一个数组nums和一个正整数k,请你判断nums是否能够被平分为元素和相同的k个子集。

函数签名如下:

boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k);

我们之前 背包问题之子集划分 写过一次子集划分问题,不过那道题只需要我们把集合划分成两个相等的集合,可以转化成背包问题用动态规划技巧解决。

但是如果划分成多个相等的集合,解法一般只能通过暴力穷举,时间复杂度爆表,是练习回溯算法和递归思维的好机会。

一、思路分析

把装有n个数字的数组nums分成k个和相同的集合,你可以想象将n个数字分配到k个「桶」里,最后这k个「桶」里的数字之和要相同。

前文 回溯算法框架套路 说过,回溯算法的关键在哪里?

关键是要知道怎么「做选择」,这样才能利用递归函数进行穷举。

那么回想我们这个问题,将n个数字分配到k个桶里,我们可以有两种视角:

视角一,如果我们切换到这n个数字的视角,每个数字都要选择进入到k个桶中的某一个

视角二,如果我们切换到这k个桶的视角,对于每个桶,都要遍历nums中的n个数字,然后选择是否将当前遍历到的数字装进自己这个桶里

你可能问,这两种视角有什么不同?

用不同的视角进行穷举,虽然结果相同,但是解法代码的逻辑完全不同;对比不同的穷举视角,可以帮你更深刻地理解回溯算法,我们慢慢道来

二、以数字的视角

用 for 循环迭代遍历nums数组大家肯定都会:

for (int index = 0; index < nums.length; index++) {
    System.out.println(nums[index]);
}

递归遍历数组你会不会?其实也很简单:

void traverse(int[] nums, int index) {
    if (index == nums.length) {
        return;
    }
    System.out.println(nums[index]);
    traverse(nums, index + 1);
}

只要调用traverse(nums, 0),和 for 循环的效果是完全一样的。

那么回到这道题,以数字的视角,选择k个桶,用 for 循环写出来是下面这样:

// k 个桶(集合),记录每个桶装的数字之和
int[] bucket = new int[k];

// 穷举 nums 中的每个数字
for (int index = 0; index < nums.length; index++) {
    // 穷举每个桶
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        // nums[index] 选择是否要进入第 i 个桶
        // ...
    }
}

如果改成递归的形式,就是下面这段代码逻辑:

// k 个桶(集合),记录每个桶装的数字之和
int[] bucket = new int[k];

// 穷举 nums 中的每个数字
void backtrack(int[] nums, int index) {
    // base case
    if (index == nums.length) {
        return;
    }
    // 穷举每个桶
    for (int i = 0; i < bucket.length; i++) {
        // 选择装进第 i 个桶
        bucket[i] += nums[index];
        // 递归穷举下一个数字的选择
        backtrack(nums, index + 1);
        // 撤销选择
        bucket[i] -= nums[index];
    }
}

虽然上述代码仅仅是穷举逻辑,还不能解决我们的问题,但是只要略加完善即可:

// 主函数
public boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {
    // 排除一些基本情况
    if (k > nums.length) return false;
    int sum = 0;
    for (int v : nums) sum += v;
    if (sum % k != 0return false;

    // k 个桶(集合),记录每个桶装的数字之和
    int[] bucket = new int[k];
    // 理论上每个桶(集合)中数字的和
    int target = sum / k;
    // 穷举,看看 nums 是否能划分成 k 个和为 target 的子集
    return backtrack(nums, 0, bucket, target);
}

// 递归穷举 nums 中的每个数字
boolean backtrack(
    int[] nums, int index, int[] bucket, int target)
 
{

    if (index == nums.length) {
        // 检查所有桶的数字之和是否都是 target
        for (int i = 0; i < bucket.length; i++) {
            if (bucket[i] != target) {
                return false;
            }
        }
        // nums 成功平分成 k 个子集
        return true;
    }

    // 穷举 nums[index] 可能装入的桶
    for (int i = 0; i < bucket.length; i++) {
        // 剪枝,桶装装满了
        if (bucket[i] + nums[index] > target) {
            continue;
        }
        // 将 nums[index] 装入 bucket[i]
        bucket[i] += nums[index];
        // 递归穷举下一个数字的选择
        if (backtrack(nums, index + 1, bucket, target)) {
            return true;
        }
        // 撤销选择
        bucket[i] -= nums[index];
    }

    // nums[index] 装入哪个桶都不行
    return false;
}

有之前的铺垫,相信这段代码是比较容易理解的。这个解法虽然能够通过,但是耗时比较多,其实我们可以再做一个优化。

主要看backtrack函数的递归部分:

for (int i = 0; i < bucket.length; i++) {
    // 剪枝
    if (bucket[i] + nums[index] > target) {
        continue;
    }

    if (backtrack(nums, index + 1, bucket, target)) {
        return true;
    }
}

如果我们让尽可能多的情况命中剪枝的那个 if 分支,就可以减少递归调用的次数,一定程度上减少时间复杂度

如何尽可能多的命中这个 if 分支呢?要知道我们的index参数是从 0 开始递增的,也就是递归地从 0 开始遍历nums数组。

如果我们提前对nums数组排序,把大的数字排在前面,那么大的数字会先被分配到bucket中,对于之后的数字,bucket[i] + nums[index]会更大,更容易触发剪枝的 if 条件。

所以可以在之前的代码中再添加一些代码:

public boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {
    // 其他代码不变
    // ...
    /* 降序排序 nums 数组 */
    Arrays.sort(nums);
    int i = 0, j = nums.length - 1;
    for (; i < j; i++, j--) {
        // 交换 nums[i] 和 nums[j]
        int temp = nums[i];
        nums[i] = nums[j];
        nums[j] = temp;
    }
    /*******************/
    return backtrack(nums, 0, bucket, target);
}

由于 Java 的语言特性,这段代码通过先升序排序再反转,达到降序排列的目的。

三、以桶的视角

文章开头说了,以桶的视角进行穷举,每个桶需要遍历nums中的所有数字,决定是否把当前数字装进桶中;当装满一个桶之后,还要装下一个桶,直到所有桶都装满为止

这个思路可以用下面这段代码表示出来:

// 装满所有桶为止
while (k > 0) {
    // 记录当前桶中的数字之和
    int bucket = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 决定是否将 nums[i] 放入当前桶中
        bucket += nums[i] or 0;
        if (bucket == target) {
            // 装满了一个桶,装下一个桶
            k--;
            break;
        }
    }
}

那么我们也可以把这个 while 循环改写成递归函数,不过比刚才略微复杂一些,首先写一个backtrack递归函数出来:

boolean backtrack(int k, int bucket, 
    int[] nums, int start, boolean[] used, int target)
;

不要被这么多参数吓到,我会一个个解释这些参数。如果你能够透彻理解本文,也能得心应手地写出这样的回溯函数

这个backtrack函数的参数可以这样解释:

现在k号桶正在思考是否应该把nums[start]这个元素装进来;目前k号桶里面已经装的数字之和为bucketused标志某一个元素是否已经被装到桶中;target是每个桶需要达成的目标和。

根据这个函数定义,可以这样调用backtrack函数:

public boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {
    // 排除一些基本情况
    if (k > nums.length) return false;
    int sum = 0;
    for (int v : nums) sum += v;
    if (sum % k != 0return false;

    boolean[] used = new boolean[nums.length];
    int target = sum / k;
    // k 号桶初始什么都没装,从 nums[0] 开始做选择
    return backtrack(k, 0, nums, 0, used, target);
}

实现backtrack函数的逻辑之前,再重复一遍,从桶的视角:

1、需要遍历nums中所有数字,决定哪些数字需要装到当前桶中。

2、如果当前桶装满了(桶内数字和达到target),则让下一个桶开始执行第 1 步。

下面的代码就实现了这个逻辑:

boolean backtrack(int k, int bucket, 
    int[] nums, int start, boolean[] used, int target)
 
{
    // base case
    if (k == 0) {
        // 所有桶都被装满了,而且 nums 一定全部用完了
        // 因为 target == sum / k
        return true;
    }
    if (bucket == target) {
        // 装满了当前桶,递归穷举下一个桶的选择
        // 让下一个桶从 nums[0] 开始选数字
        return backtrack(k - 10 ,nums, 0, used, target);
    }

    // 从 start 开始向后探查有效的 nums[i] 装入当前桶
    for (int i = start; i < nums.length; i++) {
        // 剪枝
        if (used[i]) {
            // nums[i] 已经被装入别的桶中
            continue;
        }
        if (nums[i] + bucket > target) {
            // 当前桶装不下 nums[i]
            continue;
        }
        // 做选择,将 nums[i] 装入当前桶中
        used[i] = true;
        bucket += nums[i];
        // 递归穷举下一个数字是否装入当前桶
        if (backtrack(k, bucket, nums, i + 1, used, target)) {
            return true;
        }
        // 撤销选择
        used[i] = false;
        bucket -= nums[i];
    }
    // 穷举了所有数字,都无法装满当前桶
    return false;
}

至此,这道题的第二种思路也完成了。

四、最后总结

本文写的这两种思路都可以通过所有测试用例,不过第一种解法即便经过了排序优化,也明显比第二种解法慢很多,这是为什么呢?

我们来分析一下这两个算法的时间复杂度,假设nums中的元素个数为n

先说第一个解法,也就是从数字的角度进行穷举,n个数字,每个数字有k个桶可供选择,所以组合出的结果个数为k^n,时间复杂度也就是O(k^n)

第二个解法,每个桶要遍历n个数字,选择「装入」或「不装入」,组合的结果有2^n种;而我们有k个桶,所以总的时间复杂度为O(k*2^n)

当然,这是理论上的最坏复杂度,实际的复杂度肯定要好一些,毕竟我们添加了这么多剪枝逻辑。不过,从复杂度的上界已经可以看出第一种思路要慢很多了。

所以,谁说回溯算法没有技巧性的?虽然回溯算法就是暴力穷举,但穷举也分聪明的穷举方式和低效的穷举方式,关键看你以谁的「视角」进行穷举。

通俗来说,我们应该尽量「少量多次」,就是说宁可多做几次选择,也不要给太大的选择空间;宁可「二选一」选k次,也不要 「k选一」选一次。

这道题我们从两种视角进行穷举,虽然代码量看起来多,但核心逻辑都是类似的,相信你通过本文能够更深刻地理解回溯算法。