大家好啊,我们又见面了。听说有人想学数据结构与算法却不知道从何下手?那你就认真看完本篇文章,或许能从中找到方法与技巧。

本期我们就从斐波那契数列的几种解法入手,感受算法的强大与奥妙吧。

斐波那契数列

斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”。

斐波那契数列指的是这样一个数列:

0、1、1、2、3、5、8、13、21、34......

有一组数列,它的第一项为1,第二项为1,从第三项开始,每一项为前两项之和。

斐波那契数列的第n项Fn可以通过如下的递归公式定义:

F(1)=1,F(2)=1,
F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n ≥ 3,n ∈ N*)

通项公式

在这里插入图片描述

如上,又称为“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。

注:此时a1=1,a2=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2),(n ≥ 3,n ∈ N*)

求第n项斐波那契数

现在写一个函数int fib(int n) 返回第n项Fn。例如,若n=0,则函数fib(0)应该返回0,若n=1, 则函数fib(1)应返回1,若 n > 1,返回 F(n-1)+F(n-2)。

若n = 9
输出:34

下面是返回斐波那契数列第n项Fn的不同方法:

方法1 (使用递归)

一个简捷的方法是直接使用递归定义关系式写出递归实现的代码,C/C++代码如下:

//Fibonacci Series using Recursion
#include<stdio.h>
int fib(int n) {
    if (n <= 1)
        return n;
    return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

int main() {
    int n = 9;
    printf("%d", fib(n));

    return 0;
}

输出:34
时间复杂度:T(n) = T(n-1) + T(n-2),该时间复杂度是指数级别的
空间复杂度:如果考虑递归调用时栈的大小,则为O(n) ;如果不考虑调用栈的话,则为O(1)

通过观察,我们可以发现递归求解时做了很多重复的工作(见下面的递归调用树)。因此采用递归方式求解斐波那契数列的第n项Fn不是一种好的方法。

在这里插入图片描述

方法2 (使用动态规划Dynamic Programming:DP)

如果你还不了解动态规划,请看以下两篇文章:

《深入浅出理解动态规划(一) | 交叠子问题》

《深入浅出理解动态规划(二) | 最优子结构》

在方法1中,在求解某项时,如果我们把计算结果存储起来,则后续的计算就可以使用前面的计算结果,从而可以避免很多重复的计算,C/C++代码如下:

//Fibonacci Series using Dynamic Programming
#include<stdio.h>

int fib(int n) {
    /* Declare an array to store Fibonacci numbers. */
    int f[n + 1];
    int i;

    /* 0th and 1st number of the series are 0 and 1*/
    f[0] = 0;
    f[1] = 1;

    for (i = 2; i <= n; i++) {
        /* Add the previous 2 numbers in the series
         and store it */
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
    }

    return f[n];
}

int main() {
    int n = 9;
    printf("%d", fib(n));

    return 0;
}

输出:34
时间复杂度:O(n)
空间复杂度: O(n)

方法3 (对方法2进行空间上的优化)

由于在计算某项时只需其前面相邻的两项,因此可以对方法2中的空间进行优化,C/C++代码如下:

// Fibonacci Series using Space Optimized Method
#include<stdio.h>
int fib(int n) {
    int a = 0, b = 1, c, i;
    if (n == 0)
        return a;
    for (i = 2; i <= n; i++) {
        c = a + b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return b;
}

int main() {
    int n = 9;
    printf("%d", fib(n));

    return 0;
}

输出:34
时间复杂度: O(n)
空间复杂度: O(1)

当然,也可以使用滚动数组。滚动数组不是什么高大上的技术,我们在计算斐波那契数列的过程中,始终使用相邻的前两项,加上正在计算的项,总共就三项,因此可以定义一个长度只有3的数组,可以滚动地使用0、1、2这三个下标。代码如下:

//Fibonacci Series using Dynamic Programming
#include<stdio.h>

int fib(int n) {
    /* Declare an array to store Fibonacci numbers. */
    int f[3];       /* 只需定义一个长度为3的数组 */
    int i;

    /* 0th and 1st number of the series are 0 and 1*/
    f[0] = 0;   
    f[1] = 1;

    for (i = 2; i <= n; i++) {
        /* Add the previous 2 numbers in the series
         and store it:注意下标要对3取模 */
        f[i % 3] = f[(i - 1) % 3] + f[(i - 2) % 3];
    }

    return f[n % 3]; /* 这里要注意下标对3取模 */
}

int main() {
    int n = 9;
    printf("%d", fib(n));

    return 0;
}

方法4 (使用矩阵{{1,1},{1,0}}的幂)

另外一种复杂度为O(n)的方法是对矩阵M={{1,1},{1,0}}自乘n次(换句话说,就是计算矩阵M的n次幂:power(M,n)), 这样就可以在结果矩阵下标为(0, 0)的地方得到斐波那契数列的第(n+1)项,如下所示:

在这里插入图片描述

#include <stdio.h>

/* Helper function that multiplies 2 matrices F and M of size 2*2, and puts the multiplication result back to F[][] */
void multiply(int F[2][2], int M[2][2]);

/* Helper function that calculates F[][] raise to the power n and puts the result in F[][]。Note that this function is designed only for fib() and won't work as general power function */
void power(int F[2][2], int n);

int fib(int n) {
    int F[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };
    if (n == 0)
        return 0;
    power(F, n - 1);

    return F[0][0];
}

void multiply(int F[2][2], int M[2][2]) {
    int x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];
    int y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];
    int z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];
    int w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];

    F[0][0] = x;
    F[0][1] = y;
    F[1][0] = z;
    F[1][1] = w;
}

void power(int F[2][2], int n) {
    int i;
    int M[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };

    // n - 1 times multiply the matrix to {{1,0},{0,1}}
    for (i = 2; i <= n; i++)
        multiply(F, M);
}

/* Driver program to test above function */
int main() {
    int n = 9;
    printf("%d", fib(n));

    return 0;
}

输出:34
时间复杂度: O(n)
空间复杂度: O(1)

方法 5 (对方法4进行优化 )

上面的方法4可以优化到)的时间复杂度。我们可以像计算x^n那样,采用递归的方式来计算power(M, n) ,C/C++代码如下:

#include <stdio.h>

void multiply(int F[2][2], int M[2][2]);

void power(int F[2][2], int n);

/* function that returns nth Fibonacci number */
int fib(int n) {
    int F[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };
    if (n == 0)
        return 0;
    power(F, n - 1);
    return F[0][0];
}

/* Optimized version of power() in method 4 */
void power(int F[2][2], int n) {
    if (n == 0 || n == 1)
        return;
    int M[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };

    power(F, n / 2);
    multiply(F, F);

    if (n % 2 != 0)
        multiply(F, M);
}

void multiply(int F[2][2], int M[2][2]) {
    int x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];
    int y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];
    int z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];
    int w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];

    F[0][0] = x;
    F[0][1] = y;
    F[1][0] = z;
    F[1][1] = w;
}

/* Driver program to test above function */
int main() {
    int n = 9;
    printf("%d", fib(n));

    return 0;
}

输出:34
时间复杂度: O(Logn)
空间复杂度: 如果考虑递归调用时栈的大小,则为O(n) ;如果不考虑调用栈的话,则为O(1)

方法 6 (O(Log n) 的时间复杂度)

下面是一个很有趣的计算斐波那契数列第n项的递归公式,该公式的时间复杂度为O(Log n)。

如果n是偶数, 则k=n/2,
F(n)=[2F(k-1)+F(k)]F(k)

如果n是奇数,则 k=(n+1)/2
F(n)=F(k)F(k)+F(k-1)F(k-1)

该公式是如何计算的?上面的公式可以从前面的矩阵幂推算出来:

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

要证明上面的公式成立,只需做下面的工作即可:

如果n是偶数, 令 k = n/2
如果n是奇数, 令 k = (n+1)/2

下面是上述过程的C++ 实现:

// C++ Program to find n'th fibonacci Number in
// with O(Log n) arithmatic operations
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX = 1000;

// Create an array for memoization
int f[MAX] = { 0 };

// Returns n'th fuibonacci number using table f[]
int fib(int n) {
    // Base cases
    if (n == 0)
        return 0;
    if (n == 1 || n == 2)
        return (f[n] = 1);

    // If fib(n) is already computed
    if (f[n])
        return f[n];

    int k = (n & 1) ? (n + 1) / 2 : n / 2;

    // Applyting above formula [Note value n&1 is 1
    // if n is odd, else 0.
    f[n] = (n & 1) ?
            (fib(k) * fib(k) + fib(k - 1) * fib(k - 1)) :
            (2 * fib(k - 1) + fib(k)) * fib(k);

    return f[n];
}

/* Driver program to test above function */
int main() {
    int n = 9;
    printf("%d ", fib(n));
    return 0;
}

输出:34
时间复杂度为:O(Log n) ,因为每次递归调用时都将问题规模降了一半

方法 7 (使用Java提供的BigInteger类)

Java提供了BigInteger类,可以很轻易地算出当n很大时的斐波那契数。

// Java program to compute n-th Fibonacci number where n may be large.
import java.math.*;

public class Fibonacci {
    // Returns n-th Fibonacci number
    static BigInteger fib(int n) {
        BigInteger a = BigInteger.valueOf(0);
        BigInteger b = BigInteger.valueOf(1);
        BigInteger c = BigInteger.valueOf(1);
        for (int j = 2; j <= n; j++) {
            c = a.add(b);
            a = b;
            b = c;
        }

        return (a);
    }

    public static void main(String[] args) {
        int n = 1000;
        System.out.println("Fibonacci of " + n + "th term" + " " + "is" + " " + fib(n));
    }
}

当n=1000时,输入结果如下:

在这里插入图片描述

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用x种方式求第n项斐波那契数,99%的人只会第一种

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