1:kd简介

1.1 什么是kd树

根据KNN每次需要预测一个点时,我们都需要计算训练数据集里每个点到这个点的距离,然后选出距离最近的k个点进行投票。当数据集很大时,这个计算成本非常高,针对N个样本,D个特征的数据集,其算法复杂度为O(DN^2)。

kd树:为了避免每次都重新计算一遍距离,算法会把距离信息保存在一棵树里,这样在计算之前从树里查询距离信息,尽量避免重新计算。其基本原理是,如果A和B距离很远,B和C距离很近,那么A和C的距离也很远。有了这个信息,就可以在合适的时候跳过距离远的点。

这样优化后的算法复杂度可降低到O(DNlog(N))。感兴趣的读者可参阅论文:Bentley,J.L.,Communications of the ACM(1975)。

1989年,另外一种称为Ball Tree的算法,在kd Tree的基础上对性能进一步进行了优化。感兴趣的读者可以搜索Five balltree construction algorithms来了解详细的算法信息

kd树(K-dimension tree)是一种对k维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构。kd树是一种二叉树,表示对k维空间的一个划分,构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将K维空间切分,构成一系列的K维超矩形区域。kd树的每个结点对应于一个k维超矩形区域。利用kd树可以省去对大部分数据点的搜索,从而减少搜索的计算量

1.2 原理

2.kd树_knn算法

 

 

黄色的点作为根节点,上面的点归左子树,下面的点归右子树,接下来再不断地划分,分割的那条线叫做分割超平面(splitting hyperplane),在一维中是一个点,二维中是线,三维的是面。

2.kd树_数据_02

 

 

黄色节点就是Root节点,下一层是红色,再下一层是绿色,再下一层是蓝色

2.kd树_搜索_03

 

 

类比“二分查找”:给出一组数据:[9 1 4 7 2 5 0 3 8],要查找8。如果挨个查找(线性扫描),那么将会把数据集都遍历一遍。而如果排一下序那数据集就变成了:[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9],按前一种方式我们进行了很多没有必要的查找,现在如果我们以5为分界点,那么数据集就被划分为了左右两个“簇” [0 1 2 3 4]和[6 7 8 9]。

因此,根本就没有必要进入第一个簇,可以直接进入第二个簇进行查找。把二分查找中的数据点换成k维数据点,这样的划分就变成了用超平面对k维空间的划分。空间划分就是对数据点进行分类,“挨得近”的数据点就在一个空间里面。

2:kd树的构造方法

(1)构造根结点,使根结点对应于K维空间中包含所有实例点的超矩形区域;

(2)通过递归的方法,不断地对k维空间进行切分,生成子结点。在超矩形区域上选择一个坐标轴和在此坐标轴上的一个切分点,确定一个超平面,这个超平面通过选定的切分点并垂直于选定的坐标轴,将当前超矩形区域切分为左右两个子区域(子结点);这时,实例被分到两个子区域。

(3)上述过程直到子区域内没有实例时终止(终止时的结点为叶结点)。在此过程中,将实例保存在相应的结点上。

(4)通常,循环的选择坐标轴对空间切分,选择训练实例点在坐标轴上的中位数为切分点,这样得到的kd树是平衡的(平衡二叉树:它是一棵空树,或其左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1,且它的左子树和右子树都是平衡二叉树)。

KD树中每个节点是一个向量,和二叉树按照数的大小划分不同的是,KD树每层需要选定向量中的某一维,然后根据这一维按左小右大的方式划分数据。在构建KD树时,关键需要解决2个问题:

(1)选择向量的哪一维进行划分;

(2)如何划分数据;

第一个问题简单的解决方法可以是随机选择某一维或按顺序选择,但是更好的方法应该是在数据比较分散的那一维进行划分(分散的程度可以根据方差来衡量)。好的划分方法可以使构建的树比较平衡,可以每次选择中位数来进行划分,这样问题2也得到了解决。

3:案列分析

3.1 树的建立

给定一个二维空间数据集:T={(2,3),(5,4),(9,6),(4,7),(8,1),(7,2)},构造一个平衡kd树。

2.kd树_结点_04

 

 

1:思路引导

根结点对应包含数据集T的矩形,

x轴:(2,5,9,4,8,7),排序:(2,4,5,7,8,9)

y轴:(3,4,6,7,1,2),排序:(1,2,3,4,6,7)

x轴的方差较大,所以先选择x轴,根据二分法,所以选择(7,2)点,以平面x(1)=7将空间分为左、右两个子矩形(子结点);接着左矩形以x(2)=4分为两个子矩形(左矩形中{(2,3),(5,4),(4,7)}点的x(2)坐标中位数正好为4),右矩形以x(2)=6分为两个子矩形,如此递归,最后得到如下图所示的特征空间划分和kd树。

2.kd树_搜索_05

 

 3.2 最近邻域搜索

假设标记为星星的点是 test point, 绿色的点是找到的近似点,在回溯过程中,需要用到一个队列,存储需要回溯的点,在判断其他子节点空间中是否有可能有距离查询点更近的数据点时,做法是以查询点为圆心,以当前的最近距离为半径画圆,这个圆称为候选超球(candidate hypersphere),如果圆与回溯点的轴相交,则需要将轴另一边的节点都放到回溯队列里面来。

2.kd树_kd树_06

 

 样本集{(2,3),(5,4), (9,6), (4,7), (8,1), (7,2)}

3.2.1 查找点(2.1,3.1)

2.kd树_kd树_07

 

 

在(7,2)点测试到达(5,4),在(5,4)点测试到达(2,3),然后search_path中的结点为<(7,2),(5,4), (2,3)>,从search_path中取出(2,3)作为当前最佳结点nearest, dist为0.141;

然后回溯至(5,4),以(2.1,3.1)为圆心,以dist=0.141为半径画一个圆,并不和超平面y=4相交,如上图,所以不必跳到结点(5,4)的右子空间去搜索,因为右子空间中不可能有更近样本点了。

于是再回溯至(7,2),同理,以(2.1,3.1)为圆心,以dist=0.141为半径画一个圆并不和超平面x=7相交,所以也不用跳到结点(7,2)的右子空间去搜索。

至此,search_path为空,结束整个搜索,返回nearest(2,3)作为(2.1,3.1)的最近邻点,最近距离为0.141。

3.2.2 查找点(2,4.5)

2.kd树_knn算法_08

 

 

在(7,2)处测试到达(5,4),在(5,4)处测试到达(4,7)【优先选择在本域搜索】,然后search_path中的结点为<(7,2),(5,4), (4,7)>,从search_path中取出(4,7)作为当前最佳结点nearest, dist为3.202;

然后回溯至(5,4),以(2,4.5)为圆心,以dist=3.202为半径画一个圆与超平面y=4相交,所以需要跳到(5,4)的左子空间去搜索。所以要将(2,3)加入到search_path中,现在search_path中的结点为<(7,2),(2, 3)>;另外,(5,4)与(2,4.5)的距离为3.04 < dist = 3.202,所以将(5,4)赋给nearest,并且dist=3.04。

回溯至(2,3),(2,3)是叶子节点,直接平判断(2,3)是否离(2,4.5)更近,计算得到距离为1.5,所以nearest更新为(2,3),dist更新为(1.5)

回溯至(7,2),同理,以(2,4.5)为圆心,以dist=1.5为半径画一个圆并不和超平面x=7相交, 所以不用跳到结点(7,2)的右子空间去搜索。

至此,search_path为空,结束整个搜索,返回nearest(2,3)作为(2,4.5)的最近邻点,最近距离为1.5。