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一、树的定义与基本术语

1、树的定义

  • 树是n(n>=0)个结点的有限集合
  • 如果n=0,称为空树;
  • 如果n>0, 称为非空树, 对于非空树:
    (1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点;
    (2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、……、Tm,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树(SubTree)。
    (此为递归定义)

注意:

1.n>0时根结点是唯一的,不可能存在多个根结点。

2.m>0时,子树的个数没有限制,但它们一定是互不相交的。

2、树的基本术语

结点分类

  • 结点:包含一个数据元素及若干指向其子树的分支
  • 结点的度:结点拥有的子树数
  • 叶结点(终端结点):度为0的结点[没有子树的结点]
  • 分支结点(非终端结点):度不为0的结点[包括根结点],除根结点之外分支结点也称内部结点

结点间的关系

  • 孩子:结点的子树的根[直接的后继,可能有多个]
  • 双亲:孩子的直接前驱[最多只能有一个]
  • 兄弟:同一双亲的孩子
  • 子孙:以某结点为根的树中的任一结点都称为该结点的子孙
  • 祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点

树的其他相关概念

  • 层次:根结点为第一层,其孩子为第二层,依此类推
  • 深度:树中结点的最大层次
  • 有序树:子树之间存在确定的次序关系。
  • 无序树:子树之间不存在确定的次序关系。
    (如果将树中结点的子树看成从左至右是有次序的,不能互换的,则该树称为有序树,否则称为无序树。)
  • 森林:互不相交的树的集合。对树中每个结点而言,其子树的集合即为森林。

任何一棵非空树是一个二元组:  Tree = (root,F)

其中:root 被称为根结点,F被称为子树森林

线性结构与树结构区别

数据结构——树_二叉树

二、二叉树

对于这种在某个阶段都是两种结果的情形,比如开和关、0和1、真和假、上和下、对与错、正面和反面等,都适合用树状结构来建模,而这种树是很特殊的树状结构,叫做二叉树。

1、二叉树的定义

  • 二叉树(Binary Tree)是n(n≥0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。如下图:
    数据结构——树_子树_02
  • 每个结点最多有两棵子树,所以二叉树中不存在度大于2的结点。
  • 左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒。
  • 即使树中某结点只有一棵子树,也要区分它是左子树还是右子树。如下图,树1和树2是同一棵树,但它们却是不同的二叉树。
    数据结构——树_满二叉树_03
  • 二叉树具有五种基本形态:
  1. 空二叉树;
  2. 只有一个根结点;
  3. 根结点只有左子树;
  4. 根结点只有右子树;
  5. 根结点既有左子树又有右子树。
    如果有三个结点,则存在如下五种二叉树:
    数据结构——树_结点_04

2、特殊的二叉树

斜树

所有结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。

  • 斜树有很明显的特点,就是每一层都只有结点,结点的个数与二叉树的深度相同。
  • 其实线性表的结构可以理解为树的一种极为特殊的表现形式。

满二叉树

在一棵二叉树中,如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树

如下图:

数据结构——树_结点_05

  • 满二叉树的特点:
  1. 叶子只出现在最下一层,出现在其他层就不可能达到平衡。
  2. 非叶子结点的度一定是2。
  3. 在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最大,叶子个数也最多。

完全二叉树

如果对一颗有n个结点的二叉树按层序排序,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则称这颗二叉树为完全二叉树

数据结构——树_完全二叉树_06

  • 完全二叉树的一些特点
  1. 叶子结点只出现在最下面两层
  2. 最下层的叶子一定集中在左部连续位置
  3. 倒数第二层,如果有叶子结点,一定在右部连续位置
  4. 如果结点度为1,则一定只有左孩子
  5. 同样结点数的二叉树,完全二叉树的深度最小

3、二叉树的性质

性质1

在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>=1)

性质2

深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k>=1)

性质3

对任意一个二叉树,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0 = n2+1。

性质4

具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1([]表示向下取整)

性质5

如果对一颗有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号,对任意一个结点i(1<=i<=n)有:
1. 如果i=1,则结点i为二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲为结点[i/2]。
2. 如果2i>n,则则结点i无左孩子(且结点i为叶子结点);否则其左孩子为结点2i。
3. 如果2i+1>n,则则结点i无右孩子;否则其右孩子为结点2i+1。