遇到数排列问题的几种思考方向



一、插入法

在\(DP\)的过程中考虑向当前排列加入一个元素，计算新加元素的贡献。

最简单的应用就是求长度为\(n\)逆序对数为\(k\)的排列数：​​Luogu2513​​

在很多较为复杂的问题中，排列的相邻元素会产生一定的贡献，此时可以考虑给\(DP\)多记一维状态，表示当前有\(j\)个相邻的数满足或不满足某限制，在转移时就要考虑加数是加在这\(j\)个空中，还是另外的\(i+1-j\)个空中。

例题1：​​TopCoder-11213​​

此题的思路是首先计算当排列确定时的方案数，可以用插板法解决。接着\(DP\)计算满足\(\sum_{i=2}^{n}\max(r_{p_i},r_{p_{i-1}})=k\)的方案数。先按\(r\)递增排序，设\(F[i,j,k]\)表示长度为\(i\)的排列，有\(j\)个区间还未确定（确定指的就是相邻的两个数之间不能再加数了），当前的权值\(=k\)的方案数，转移只需讨论数加在首尾或中间未确定的区间即可。

例题2：​​CF840C​​

删去平方因子后，\(a\times b\)是完全平方数等价于\(a=b\)。将数从小到大排序，设\(F[i,j,k]\)表示长度为\(i\)的排列，有\(j\)个相邻位置是相等的数，其中有\(k\)个相邻位置是和\(i\)的数相等的，转移比较显然。

二、合并法

在\(DP\)的过程中考虑在当前排列的最值处合并两个排列，计算贡献。

例题：​​CF1580B​​

三、转化法

在一些问题中我们可以把排列转化到一种划分上，从而就只需要数划分就够了。

例题：​​AGC054B​​