保形分段三次hermite插值


% 这是MATLAB里面的pchip.m文件。这里把它的凝视改写成汉语,主要是想弄清楚它是怎么计算在节点处的导数的。


function v = pchip(x,y,xx)

%输入:n个插值节点的纵坐标向量x;横坐标向量y;插值点xx。

%输出:分段三次Hermite插值结果。

%   PCHIP  Piecewise Cubic Hermite Interpolating Polynomial.
%   PP = PCHIP(X,Y)为X处的值Y提供了一种特定的保形分段三次厄尔米特插值(shape-preserving piecewise cubic Hermite interpolant)
%   的分段多项式形式,在后面的PPVAL和样条功能UNMKPP(spline utility UNMKPP)将用到这个函数。
%   X必须是个向量。

%   假设Y是个向量,则Y的第j个元素Y(j)被取为和X的第j个元素X(j)匹配的值,因此Y和X的长度必须一样。
%   假设Y是一个矩阵,或者N维数组,则Y(:,...,:,j)被取为和X(j)相匹配的值,因此Y的最后一维必须等于length(X).
%   YY = PCHIP(X,Y,XX)和YY = PPVAL(PCHIP(X,Y),XX)是一样的,因此在YY中给出了在XX处的插值。
%   PCHIP插值函数p(x)满足:
%   在每一个子区间X(k) <= x <= X(k+1),p(x)都是三阶Hermite插值多项式(给定插值点和两个端点的斜率)。
%   因而。p(x) interpolates Y,也就是说。p(X(j)) = Y(:,j),而且一阶导数Dp(x)是连续的,可是
%   二阶导数D^2p(x)可能不是连续的;在X(j)处可能会出现跳跃.
%   在X(j)处的斜率的选取方法。确保了p(x)是"shape preserving"和"respects monotonicity"的,
%   这意味着,在那些数据是单调的区间里,p(x)也是单调的;在那些数据是局部极值(local extremum)的点,
%   p(x)也取局部极值。
%
%  PCHIP与SPLINE的对照:
%   SPLINE提供的函数s(x)的构建方法和PCHIP里面的函数p(x)全然同样,仅仅只是在X(j)处的斜率的选择方法不一样,
%   SPLINE函数的s(x)在X(j)的二阶导数D^2s(x)也是连续的,这导致了例如以下结果:
%   SPLINE更加光滑。也就是说。D^2s(x)是连续的。

%   假设数据是一个光滑函数的值。则SPLINE更加精确。
%   假设数据不是光滑的,则PCHIP没有overshoots,也不太震荡(less oscillation)。
%   PCHIP建立的难度较小(is less expensive to set up).
%   这两种函数预计的难度是一样的。

%   样条比pchip光滑,样条的两阶导数连续。而pchip一阶导数连续。不连续的两阶导数隐含着不连续的曲率。

人的眼睛能够检測出图形上曲率的不连续。还有一方面,pchip是保形状的,而样条不一定保形状。

%
%   样例:
%     x = -3:3;
%     y = [-1 -1 -1 0 1 1 1];
%     t = -3:.01:3;
%     plot(x,y,'o',t,[pchip(x,y,t); spline(x,y,t)])
%     legend('data','pchip','spline',4)
%
%   Class support for inputs x, y, xx:
%      float: double, single
%
%   还可參见INTERP1, SPLINE, PPVAL, UNMKPP.

% 參考文献:
%   F. N. Fritsch and R. E. Carlson, "Monotone Piecewise Cubic
%   Interpolation", SIAM J. Numerical Analysis 17, 1980, 238-246.
%   David Kahaner, Cleve Moler and Stephen Nash, Numerical Methods
%   and Software, Prentice Hall, 1988.
%
%   Copyright 1984-2004 The MathWorks, Inc.
%   $Revision: 1.7.4.4 $  $Date: 2004/03/02 21:47:53 $

% 检验数据的可接受性,假设不可接受,则对其进行适当的调整
[x,y,sizey] = chckxy(x,y);          %chckxy返回三个变量:x,y,和sizey。

可是不知道chckxy是什么意思。
n = length(x);                      %n为向量x的长度。也就是后面要用的节点数目。

h = diff(x);                        %diff表示把向量x的相邻元素相减。

得到h=[X(2)-X(1) X(3)-X(2) ... X(n)-X(n-1)]
m = prod(sizey);                    %

%确保插值点是实数
if nargin==3 && any(~isreal(reshape(xx,numel(xx),1)))
  error('MATLAB:pchip:ComplexInterpPts',...
        'The interpolation points should be real.')
end

%计算斜率
del = diff(y,1,2)./repmat(h,m,1);
% diff(y,n,dim)是在标量dim指定的维度上进行n次差分。假设阶数n等于或超过第dim维的长度,则diff返回一个空的数组。
% 比如y=[1 3 4 6 9 10 8 12];则diff(y,1,2)=[2 1 2 3 1 -2 4];
% repmat(h,m,1)把矩阵h在纵向方面复制m次。二者相除就是一阶差商。
slopes = zeros(size(y));                                % 设定一个全是0的向量。准备存放斜率数值。

for r = 1:m
      slopes(r,:) = pchipslopes(x,y(r,:),del(r,:));     %调用函数见下。
end

% 对上述值x,y,和斜率计算分段三次Hermite插值
v = pwch(x,y,slopes,h,del); v.dim = sizey;
if nargin == 3   % if values are wanted instead, provide them
   v = ppval(v,xx);
end



% 以下是计算节点处的斜率的函数pchipslopes------------------------------------------
function d = pchipslopes(x,y,del)
%PCHIPSLOPES Derivative values for shape-preserving Piecewise Cubic Hermite Interpolation.
% d = pchipslopes(x,y,del)计算一阶导数d(k)=P'(x(k)).

% 特殊情况:n=2,此时使用线性插值.
   n = length(x);
   if n==2 
      d = repmat(del(1),size(y));
      return
   end

%  内点(interior points)处的斜率.
%  假设第k个节点处的左右差商del(k-1)和del(k)符号同样,则设定d(k)等于二者的加权平均。

%  假设第k个节点处的左右差商del(k-1)和del(k)符号相反,或者当中一个为0。则设定d(k)=0.
   d = zeros(size(y));
   if isreal(del)                                          %假设del是实数。

      k = find(sign(del(1:n-2)).*sign(del(2:n-1)) > 0);    %则把其左右差商同号的那个序号赋值给k.
   else
      k = find(~(del(1:n-2) == 0 & del(2:n-1) == 0));
   end
   h = diff(x);
   hs = h(k)+h(k+1);
   w1 = (h(k)+hs)./(3*hs);
   w2 = (hs+h(k+1))./(3*hs);
   dmax = max(abs(del(k)), abs(del(k+1)));
   dmin = min(abs(del(k)), abs(del(k+1)));
   d(k+1) = dmin./conj(w1.*(del(k)./dmax) + w2.*(del(k+1)./dmax));
%函数congj(a)返回数组a的每一个元素的共轭复数组成的数组。

  
%  区间端点处的斜率(end points).
%  Set d(1) and d(n) via non-centered, shape-preserving three-point formulae.

   d(1) = ((2*h(1)+h(2))*del(1) - h(1)*del(2))/(h(1)+h(2));
   if isreal(d) && (sign(d(1)) ~= sign(del(1)))
      d(1) = 0;
   elseif (sign(del(1)) ~= sign(del(2))) && (abs(d(1)) > abs(3*del(1)))
      d(1) = 3*del(1);
   end
   d(n) = ((2*h(n-1)+h(n-2))*del(n-1) - h(n-1)*del(n-2))/(h(n-1)+h(n-2));
   if isreal(d) && (sign(d(n)) ~= sign(del(n-1)))
      d(n) = 0;
   elseif (sign(del(n-1)) ~= sign(del(n-2))) && (abs(d(n)) > abs(3*del(n-1)))
      d(n) = 3*del(n-1);
   end