最近碰到很多通过巧妙着运用位运算来巧妙解决复杂问题的算法,今天分享的这道题,或许能够开拓你的一些算法思维。

题目描述

有一组存放 ID 的数据。并且 ID 取值为 0 - (N-1) 之间,其中只有一个 ID 出现的次数为 1,其他的 ID 出现的次数都等于 2,问如何找到这个次数为 1 的 ID ?

解法一:巧用数组下标

不知道有多少人还记得我之前分享的巧用数组下标的技巧:一些常用的算法技巧总结。

我的第一想法便是采用下标法来解决,把 ID 作为数组 arr 的下标,在遍历 ID 的过程中,用数组记下每个 ID 出现的次数,即每次遍历到 ID = n,则 arr[n]++。

之后我们在遍历数组 arr,找到 arr[n] = 1 的ID,该下标 n 便是我们要寻找的目的 ID。

这种方法的时间复杂度为 O(N),空间复杂度为 O(N)。

解法二:巧用哈希表

显然时间复杂度是无法再降低的了,因为我们必须要遍历所有的 ID,所以时间复杂度最少都得为 O(N)了,所以我们要想办法降低空间复杂度。

大家想一个问题,假如我们检测到某个 ID 已经出现了 2 次了,那么这个 ID 的数据我们还需要存储记录吗?大部分的 ID 都出现了 2 次,这一大部分的数据真的需要存储吗?

答是不用的,因为出现 2 次的 ID 不是我们所要找的。所以我们可以优化解法一,我们可以采用哈希表来记录 ID 出现的次数:利用哈希表记下每个 ID 出现的次数,每次遇见一个 ID,就把这个 ID 放进 哈希表,如果这个 ID 出现了次数已经为 2 了,我们就把这个 ID 从哈希表中移除,最后哈希表只会剩下一个我们要寻找的 ID。

这个方法最好的情况下空间复杂度可以降低到 O(1),最坏的情况仍然了 O(N)。

解法三:巧用位运算

那究竟有没办法让空间复杂度在最坏的情况下也是 O(1) 呢?

答是有的,按就是采用异或运算。异或运算有个特点:

异或运算特点:相同的两个数异或之后,结果为 0,任何数与0异或运算,其结果不变并且,异或运算支持结合律。

所以,我们可以把所有的 ID 进行异或运算,由于那些出现两次的 ID 通过异或运算之后,结果都为 0,而出现一次的 ID 与 0 异或之后不变,又因为异或支持结合律,所以,把所有 ID 进行异或之后,最后的结果便是我们要找的 ID。

这个方法的空间复杂度为 O(1),巧妙利用了位运算,而且运算的效率是非常高效的。

问题拓展

假如有 2 个 ID 出现的次数为 1,其他 ID 出现的次数都为 2 呢?有该如何解决呢?是否还是可以用位运算呢?

为了方便这里我们先假设 异或 的符号为 @,

答是必须的,假如这两个出现一次的 ID 分别为 A, B,则所有 ID 异或后的结果为 A@B,这时我们遇到的问题是无法确定 A,B的值。

由于 A 和 B 是不一样的值,所以 A@B 的结果不为 0,也就是说,这个异或值的二进制中某一位为1。显然,A 和 B 中有且仅有一个数的相同位上也为 1。

这个时候,我们可以把所有 ID 分为两类,一类在这个位上为 1,另一类为 0,那么对于这两类,一类会含有 A,另一类会含有 B。于是,我们可以分别计算这两类 ID 的异或值,几可得到 A 和 B 的值。

总结

大家做刷题的时候,不妨多加上一个想法:是否可以用的上位运算这种思路。有收获?不妨来个好看让更多人看到这篇文章!

往期:

一文读懂一台计算机是如何把数据发送给另一台计算机的