无向图的双连通分量
无向图
具体原理定义参考刘汝佳<<算法入门经典训练指南>>P314
【定义】
点-双连通图：若一个无向图中的去掉任意一个节点都不会改变此图的连通性，即不存在割点。
点—双连通分量：一个无向图中的每一个极大点双连通子图称。
不难发现,每条边恰好属于一个双连通分量(所以两点一边是一个点-双连通分量)。但不同双连通分量可能会有公共点，可以证明不同双连通分量最多只有一个公共点，且它一定是割顶。另一方面任意割顶都是至少两个不同的点-双连通分量的公共点。
注意：孤立点，以及两点一边这两种图都是点-双连通的。因为它们都是内部无割点。
边双连通图：一个无向图中的去掉任意一条边都不会改变此图的连通性，即不存在桥。
边双连通分量：一个无向图中的每一个极大边双连通子图称。
除了桥不属于任何边-双连通分量外，其他每条边恰好属于一个边-双连通分量，而且把所有桥删除之后,每个连通分量对应原图中的一个边-双连通分量。
注意：孤立点是边-双连通的，但是两点一边不是边-双连通的。
点-双连通图不一定是边-双连通的。
【代码】
求一个无向图(无重边)的所有点双连通分量的代码.
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
const int maxn=1000+10;
int n,m;
int bcc_cnt;
int dfs_clock;//bcc_cnt计数一共有多少个点-双连通分量
int pre[maxn];
bool iscut[maxn];
int bccno[maxn];//bccno[i]=x表示第i个顶点属于x号点双连通分量
vector<int> G[maxn],bcc[maxn];
//bcc[i]中包含了i号点-双连通分量的所有节点
struct Edge
{
int u,v;
Edge(int u,int v):u(u),v(v){}
};
stack<Edge> S;
int dfs(int u,int fa)
{
int lowu=pre[u]=++dfs_clock;
int child=0;
for(int i=0;i<G[u].size();i++)
{
int v=G[u][i];
Edge e = Edge(u,v);
if(!pre[v])
{
S.push(e);
child++;
int lowv=dfs(v,u);
lowu=min(lowu,lowv);
if(lowv >= pre[u])
{
iscut[u]=true;
bcc_cnt++;//注意bcc_cnt从1开始编号
bcc[bcc_cnt].clear();
while(true)
{
Edge x=S.top(); S.pop();
if(bccno[x.u]!=bcc_cnt)
{
bcc[bcc_cnt].push_back(x.u);
bccno[x.u]=bcc_cnt;
}
if(bccno[x.v]!=bcc_cnt)
{
bcc[bcc_cnt].push_back(x.v);
bccno[x.v]=bcc_cnt;
}
if(x.u==u && x.v==v) break;
}
}
}
else if(pre[v]<pre[u] && v!=fa)
{
S.push(e);
lowu=min(lowu,pre[v]);
}
}
if(fa<0 && child==1) iscut[u]=false;
return lowu;
}
void find_bcc(int n)
{
memset(pre,0,sizeof(pre));
memset(iscut,0,sizeof(iscut));
memset(bccno,0,sizeof(bccno));
dfs_clock = bcc_cnt = 0;
for(int i=0;i<n;i++)
if(!pre[i]) dfs(i,-1);
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m)==2&&n)
{
for(int i=0;i<n;i++) G[i].clear();
for(int i=0;i<m;i++)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
find_bcc(n);
printf("点-双连通分量一共%d个\n",bcc_cnt);
for(int i=1;i<=bcc_cnt;i++)
{
printf("第%d个点-双连通分量包含以下点:\n",i);
sort(&bcc[i][0],&bcc[i][0]+bcc[i].size()); //对vector排序,使输出的点从小到大
for(int j=0;j<bcc[i].size();j++)
{
printf("%d ",bcc[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
return 0;
}
饶齐大佬博客求边-双连通分量的算法：
方法1：将无向图的所有桥边标记出来，然后执行dfs，且dfs过程中不走桥边。所以每次dfs经过的点都是同一个边-双连通分量的。
方法2：对无向图执行dfs求割点，然后对于任意点i和j，如果low[i]==low[j]，那么它们属于同一个边-双连通分量(点-双连通分量内的两个点的low[]值不一定相同，自己画图验证下)。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1000+10;
int n,m;
vector<int> G[maxn];
int dfs_clock;
int pre[maxn],low[maxn];
int degree[maxn];
int tarjan(int u,int fa)
{
int lowu=pre[u]=++dfs_clock;
for(int i=0;i<G[u].size();i++)
{
int v=G[u][i];
if(v==fa) continue;
if(!pre[v])
{
int lowv=tarjan(v,u);
lowu=min(lowu,lowv);
}
else if(pre[v]<pre[u])
lowu=min(lowu,pre[v]);
}
return low[u]=lowu;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
dfs_clock=0;
memset(pre,0,sizeof(pre));
memset(degree,0,sizeof(degree));
for(int i=1;i<=n;i++) G[i].clear();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
tarjan(1,-1);//得出所有节点的low值,每个不同的low值代表一个边双连通分量
for(int u=1;u<=n;u++)//遍历每条边
for(int i=0;i<G[u].size();i++)
{
int v=G[u][i];
if(low[u]!=low[v]) degree[low[v]]++;
}
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++)if(degree[i]==1)
cnt++;
printf("%d\n",(cnt+1)/2 );
}
经典例题：
HDU 3749 Financial Crisis (点-双连通分量)
