最小生成树

    性质:n个节点生成的最小生成树有n-1条边 & 最小生成树里多加一条边能生成含该边的一个环

    构造方法:Prim算法 & Kruskal算法

一、Prim算法:逐个点连通的方式构造最小生成树(时间复杂度O(n*n),适合稠密图)

    稀疏图&稠密图:有很少条边或弧(边的条数|E|远小于|V|²)的图称为稀疏图(sparse graph),反之边的条数|E|接近|V|²,称为稠密图(dense graph)。

设计思想:

贪心法之prim算法和Kruskal算法_最小生成树

    Prim算法是从一个点开始,在给的无向图中寻找这个点所连接的权值最小的边,并在树中连接这条边,再寻找树中节点在无向图连接的权值最小的边,找到之后要判断这条边是否会构成一个环,最小生成树中是不能出现环的。

伪代码如下:
贪心法之prim算法和Kruskal算法_权值_02

    下图的例子:①从点1开始,权值最小的边是(1,3),权值为1,连接;②点1和点3在原始无向图中权值最小的边是(3,6),权值为4,连接;③从点1、点3和点6中权值最小的边是(6,4),权值为2连接;④在点1、3、6、4中权值最小的边是(4,1)和(3,2),权值都为5,但是(4,1)连接后会构成环,所以不能连接(4,1);⑤再找点1、3、6、4、2中权值最小的边,连接(2,5),完成最小生成树的构造。

贪心法之prim算法和Kruskal算法_算法_03

prim算法正确性证明:
贪心法之prim算法和Kruskal算法_权值_04

 贪心法之prim算法和Kruskal算法_算法_05

 贪心法之prim算法和Kruskal算法_算法_06

 贪心法之prim算法和Kruskal算法_最小生成树_07

  贪心法之prim算法和Kruskal算法_权值_08

 贪心法之prim算法和Kruskal算法_权值_09

代码实现如下:

贪心法之prim算法和Kruskal算法_i++_10贪心法之prim算法和Kruskal算法_算法_11

#include
#include
using namespace std;

int n,m;
int map[101][101];

void prim() //最小生成树 prim算法
{
cout<<"prim:"< int lowcost[101]; //lowcost[i]存树中点到i点的边的权值最小为多少 => 为多少?
int closest[101]; //closest[i]存放树中哪个点到i点的边的权值最小 => 是哪个?
bool s[101];
s[1] = true; //选择1为树顶
int i,j,k;
for(i=2;i<=n;i++) //初始化lowcost和s
{
lowcost[i] = map[1][i];
s[i] = false;
closest[i] = 1;
}
int min;
for(i=1;i {
min = 100000;
k = 1;
for(j=2;j<=n;j++) //找最小边
{
if((lowcost[j] {
min = lowcost[j];
k = j;
}
}
cout< s[k] = true;
for(j=2;j<=n;j++)
{
if((map[k][j] {
lowcost[j] = map[k][j];
closest[j] = k;
}
}
}
}

int main()
{
cin>>n>>m;
int i,a,b,tem;
memset(map,0x3f,sizeof(map)); //memset要用0x3f
for(i=1;i<=m;i++)
{
cin>>a>>b;
cin>>tem;
map[a][b] = tem;
map[b][a] = tem;
}
prim();
return 0;
}

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运行结果:

贪心法之prim算法和Kruskal算法_算法_12

 

二、Kruskal算法:按权值递增的顺序选择合适的边构造最小生成树(时间复杂度O(eloge),适合稀疏图)

    PS:有很少条边或弧(边的条数|E|远小于|V|²)的图称为稀疏图(sparse graph),反之边的条数|E|接近|V|²,称为稠密图(dense graph)。

设计思想如下:
贪心法之prim算法和Kruskal算法_权值_13

 伪代码如下:
贪心法之prim算法和Kruskal算法_权值_14

    先找出权值最小的边,将两个点连接,再找权值第二小的边,判断连接这两个点是否会形成环,如果不会就连接,如果会就不连接。

    下图的例子:①权值最小边(1,3)连接;②剩下的权值最小边(4,6),判断不会形成环,连接;③剩下的权值最小边(2,5),判断不会形成环,连接;④剩下的权值最小边(3,6),判断不会形成环,连接;⑤剩下的权值最小边只有(3,2)不会形成环,连接。

贪心法之prim算法和Kruskal算法_i++_15

Kruskal算法正确性证明:
贪心法之prim算法和Kruskal算法_最小生成树_16

 先介绍下短接操作

贪心法之prim算法和Kruskal算法_i++_17

 贪心法之prim算法和Kruskal算法_i++_18

 贪心法之prim算法和Kruskal算法_i++_19

 贪心法之prim算法和Kruskal算法_最小生成树_20

 贪心法之prim算法和Kruskal算法_i++_21

代码实现:

贪心法之prim算法和Kruskal算法_i++_10贪心法之prim算法和Kruskal算法_算法_11

#include
#include
using namespace std;

int pre[101];
int u[101],v[101],edge[101]; //u,v分别为两个点,edge为两个点之间的边
int m,n;
int find(int x)
{
int root = x;
while(pre[root]!=root)
root = pre[root];
//路径压缩
int i,j;
i = x;
while(pre[i]!=root)
{
j = i;
i = pre[i];
pre[j] = root;
}
return root;
}

void kruskal() //最小生成树,Kruskal算法
{
cout<<"Kruskal:"< int i,total,min,minnum,fu,fv;
total = n-1;
while(total>0)
{
min = 10000000;
for(i=1;i<=m;i++) //找最小值
{
if(u[i] == -1||v[i] == -1)
continue;
if(edge[i] {
min = edge[i];
minnum = i;
}
}
fu = find(u[minnum]);
fv = find(v[minnum]);
if(fu!=fv) //不连通,就连接两个点
{
cout< pre[fu] = fv;
total--;
}
edge[minnum] = 100000000; //改变已经找到的最小值
u[minnum] = -1;
v[minnum] = -1;
}
}

int main()
{
cin>>n>>m;
int i,a,b,tem;
for(i=1;i<=n;i++)
pre[i] = i;
for(i=1;i<=m;i++)
{
cin>>a>>b;
cin>>tem;
u[i] = a;
v[i] = b;
edge[i] = tem;
}
kruskal();
return 0;
}

View Code

运行结果:
贪心法之prim算法和Kruskal算法_最小生成树_24

 Kruskal算法所需的计算时间为O(eloge)

 

参考:北大《算法设计与分析》公开课

           王晓东《算法设计与分析》第二版

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