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一、序列傅里叶变换实例
求序列
x ( n ) = R N ( n ) ① x(n) = R_N(n) \ \ \ \ ① x(n)=RN(n) ①
的 序列傅里叶变换 SFT ;
1、傅里叶变换
傅里叶变换公式 : 根据 x ( n ) x(n) x(n) 序列 求 X ( e j ω ) 傅 里 叶 变 换 X(e^{j\omega}) 傅里叶变换 X(ejω)傅里叶变换 ,
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n ② X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} \ \ \ \ ② X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn ②
将 ① 带入到 ② 傅里叶变换 公式中 , n n n 的取值范围是 [ 0 , N − 1 ] [0, N-1] [0,N−1] ,
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n = ∑ n = 0 N − 1 e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} = \sum_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n} X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn=n=0∑N−1e−jωn
根据 " 等比级数求和 " 公式 , S n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n = a 1 ( 1 − q n ) 1 − q S_n = a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n = \cfrac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q} Sn=a1+a2+a3+⋯+an=1−qa1(1−qn) , ( 公比为 q ) , 一共有 N N N 项 ,
X ( e j ω ) = 1 − e − j ω n 1 − e − j ω X(e^{j\omega}) = \cfrac{1-e^{-j\omega n}}{1-e^{-j\omega}} X(ejω)=1−e−jω1−e−jωn
写成如下样式 , 是为了方便编程 ,
X ( e j ω ) = e − j ω N − 1 2 sin ( ω N 2 ) sin ( ω 2 ) X(e^{j\omega}) = e^{-j\omega \cfrac{N-1}{2}} \cfrac{ \sin( \cfrac{\omega N}{2} ) }{ \sin( \cfrac{\omega }{2} )} X(ejω)=e−jω2N−1sin(2ω)sin(2ωN)
矩形窗序列 方便 计算机处理 , 将序列截断后只处理有限个序列比较容易 ,
将 信号 取一段数据 , 相当于 信号 乘以 矩形窗序列 ;
S F T [ R N ( n ) ] = N ω = 0 SFT[R_N(n)] = N \ \ \ \ \omega = 0 SFT[RN(n)]=N ω=0
S F T [ R N ( n ) ] = 0 ω = 2 π k N , k = ± 1 , ± 2 , ⋯ SFT[R_N(n)] = 0 \ \ \ \ \omega = \cfrac{2\pi k}{N} , k = \pm1 , \pm2 , \cdots SFT[RN(n)]=0 ω=N2πk,k=±1,±2,⋯
绘制 S F T [ R N ( n ) ] SFT[R_N(n)] SFT[RN(n)] 的坐标图 , 假设 N = 4 N = 4 N=4 ,
- 当 ω = 0 \omega = 0 ω=0 时 , S F T [ R 4 ( n ) ] = 4 SFT[R_4(n)] = 4 SFT[R4(n)]=4
- 当 ω = 2 π k N = 2 π k 4 = π k 2 \omega = \cfrac{2\pi k}{N} = \cfrac{2\pi k}{4} = \cfrac{\pi k}{2} ω=N2πk=42πk=2πk 时 , S F T [ R 4 ( n ) ] = 0 SFT[R_4(n)] = 0 SFT[R4(n)]=0 , 第一个点是 π 2 \cfrac{\pi}{2} 2π , 第二个点是 π \pi π , 如下图所示 ;
2、傅里叶变换幅频特性
幅频特性 : 在 matlab 中绘制效果如下 , matlab 中取模后再绘制 ;
3、傅里叶变换相频特性
相频特性 : matlab 中绘制其 相频特性 ,
相频特性 , 主要看 X ( e j ω ) = e − j ω N − 1 2 sin ( ω N 2 ) sin ( ω 2 ) X(e^{j\omega}) = e^{-j\omega \cfrac{N-1}{2}} \cfrac{ \sin( \cfrac{\omega N}{2} ) }{ \sin( \cfrac{\omega }{2} )} X(ejω)=e−jω2N−1sin(2ω)sin(2ωN) 中的 e − j ω N − 1 2 e^{-j\omega \cfrac{N-1}{2}} e−jω2N−1 的正负号 ,
N N N 如果确定了 , N − 1 2 \cfrac{N-1}{2} 2N−1 是常数 , 因此整个曲线是线性的 ,
锯齿形突变是因为 计算
sin
(
ω
N
2
)
sin
(
ω
2
)
\cfrac{ \sin( \cfrac{\omega N}{2} ) }{ \sin( \cfrac{\omega }{2} )}
sin(2ω)sin(2ωN) 时 , 正负号突然改变 ;
