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一、求 1 的傅里叶反变换
已知 傅里叶变换
X ( e j ω ) = 2 π δ ~ ( ω ) X(e^{j\omega}) = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega ) X(ejω)=2πδ (ω)
求该 傅里叶变换的 反变换
I S F T [ X ( e j ω ) ] ISFT[X(e^{j\omega})] ISFT[X(ejω)]
0、周期 2π 的单位脉冲函数
单位脉冲函数 ( 单位冲击函数 ) 对应的 函数图像 如下 : 横轴是 n n n , 纵轴是 δ ( n ) \delta (n) δ(n) ;
- n = 0 n = 0 n=0 时 , δ ( n ) = 1 \delta (n) = 1 δ(n)=1
-
n
=
1
n = 1
n=1 时 ,
δ
(
n
)
=
0
\delta (n) = 0
δ(n)=0
如果写成 δ ~ ( ω ) \widetilde{\delta} ( \omega ) δ (ω) 样式 , 说明该 单位脉冲函数 是以 2 π 2 \pi 2π 为周期的 , δ ~ ( ω ) \widetilde{\delta} ( \omega ) δ (ω) 可以写成如下式子 :
δ ~ ( ω ) = ∑ m = − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π m ) \widetilde{\delta} ( \omega ) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta( \omega - 2\pi m ) δ (ω)=m=−∞∑∞δ(ω−2πm)
m m m 取值 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty , +\infty) (−∞,+∞) ;
其函数图像如下样式 :
1、问题分析
求 1 的 傅里叶变换 SFT , 无法直接求出 , 这里求其 傅里叶反变换 ;
δ ~ ( ω ) \widetilde{\delta} ( \omega ) δ (ω) 序列如下图所示 :
除了在 0 0 0 位置外 , 在 2 π , 4 π , 6 π 2\pi , 4\pi , 6\pi 2π,4π,6π 等位置 , 都是 无限冲激响应 ,
其物理意义是 所有的能量 , 都集中在 ω = 0 \omega = 0 ω=0 位置上 ;
周期信号 信息 都在其 周期组织区间内 , 其它区间都是周期性重复的 , 因此这里只分析 [ − π , π ] [-\pi , \pi] [−π,π] 之间的信号 ;
δ ~ ( ω ) \widetilde{\delta} ( \omega ) δ (ω) 的物理意义是 所有的能量 都集中在 ω = 0 , ± 2 π , ± 4 π , ⋯ \omega = 0 , \pm2\pi , \pm 4\pi , \cdots ω=0,±2π,±4π,⋯ 位置上 ;
2、涉及公式介绍
傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;
x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω k d ω x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega x(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω
3、1 的傅里叶反变换
将
X ( e j ω ) = 2 π δ ~ ( ω ) X(e^{j\omega}) = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega ) X(ejω)=2πδ (ω)
带入到
x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω k d ω x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega x(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω
傅里叶反变换 公式中 , 可以得到如下公式 :
I S F T [ X ( e j ω ) ] = 1 2 π ∫ − π π 2 π δ ~ ( ω ) e j ω k d ω ISFT[X(e^{j\omega})] = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega ) e^{j \omega k} d \omega ISFT[X(ejω)]=2π1∫−ππ2πδ (ω)ejωkdω
− π -\pi −π ~ π \pi π 之间 , 只有 ω = 0 \omega = 0 ω=0 点有值为 1 1 1 , 其它点都为 0 0 0 ,
- 当 ω = 0 \omega = 0 ω=0 时 , 结果是 2 π 2\pi 2π
- 当 ω ≠ 0 \omega \not=0 ω=0 时 , δ ~ ( ω ) = 0 \widetilde{\delta} ( \omega ) = 0 δ (ω)=0 , 结果都是 0 0 0 ;
因此 ,
∫ − π π X ( e j ω ) e j ω k = 1 \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} = 1 ∫−ππX(ejω)ejωk=1
可得到下面的式子 :
I S F T [ X ( e j ω ) ] = 1 2 π × 2 π = 1 ISFT[X(e^{j\omega})] = \cfrac{1}{2\pi} \times 2 \pi = 1 ISFT[X(ejω)]=2π1×2π=1
其中 , k k k 取值 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty , +\infty) (−∞,+∞) ;
4、1 的傅里叶反变换
最终可以得到一个公式 , 傅里叶变换如下 :
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
使用 1 1 1 替换上述 x ( n ) x(n) x(n) , 可以得到 :
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega n} X(ejω)=n=−∞∑+∞e−jωn
结合本博客中的示例 : 1 1 1 的傅里叶变换如下 ,
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ e − j ω n = 2 π δ ~ ( ω ) X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega n} = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega ) X(ejω)=n=−∞∑+∞e−jωn=2πδ (ω)
