【二阶系统稳定性证明】

二阶系统

最终状态

控制协议为

写成矩阵的形式，令 。

将控制协议（3）代入系统（1）后可得：

其中 ， 是拉氏矩阵。

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为了找到 的特征值，首先通过求解矩阵 的特征多项式 从而获得特征值，

这里 是 的第 个特征值。

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通过式（5）和式（6）可以得到：

因此，可以通过求解 来求式（5）的根。因此 的特征值如下：

从式（8）可以看出，如果 有 个零特征值，那么 就有 个零特征值。当 行向量之和为零时， 关于向量 至少有一个零特征值，那么个 就至少有 个零特征值。不失一般性，我们让 $$

此外， 是对角占优且对角元素是非正的，可以知道 的所有非零特征根都有负实部。

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引理 1

控制协议（3）渐进收敛到一致的条件是 有两个零特征值，且其他特征值均有负实部。

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证明：

令 是 关于零特征值的特征向量，有

由上式可知：。 是 关于零特征值的特征向量。当矩阵 有两个零特征值时， 有一个零特征值，因此 只有一个关于特征值零的线性独立特征向量 ，反过来矩阵 就只有一个关于特征值零的线性独立特征向量 。

把 写成约旦标准型：

：是矩阵 的右特征向量或者广义特征向量

：是矩阵 的左特征向量或者广义特征向量

：为对应非零特征值 的约旦对角矩阵

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我们令 ，，其中 分别是矩阵 关于特征值 0 的特征向量和广义特征向量。

矩阵 有两个零特征值，那么 只有一个零特征值，即存在一个非负向量 ，其中 。 分别为矩阵 关于 0 特征值的广义左特征向量和左特征向量，其中 。特征值 有负实部，有：

当 时，

由以上可知 时， 。所以， 时，。