二阶系统

最终状态

【二阶系统稳定性证明】_特征向量_03

控制协议为

写成矩阵的形式,令

将控制协议(3)代入系统(1)后可得:

其中 , 是拉氏矩阵。


为了找到 的特征值,首先通过求解矩阵 的特征多项式 从而获得特征值,

这里 的第 个特征值。


通过式(5)和式(6)可以得到:

因此,可以通过求解 来求式(5)的根。因此 的特征值如下:

从式(8)可以看出,如果 个零特征值,那么 就有 个零特征值。当 行向量之和为零时, 关于向量 至少有一个零特征值,那么个 就至少有 个零特征值。不失一般性,我们让 $$

此外, 是对角占优且对角元素是非正的,可以知道 的所有非零特征根都有负实部。


引理 1

控制协议(3)渐进收敛到一致的条件是 有两个零特征值,且其他特征值均有负实部。


证明:

关于零特征值的特征向量,有

由上式可知: 关于零特征值的特征向量。当矩阵 有两个零特征值时, 有一个零特征值,因此 只有一个关于特征值零的线性独立特征向量 ,反过来矩阵 就只有一个关于特征值零的线性独立特征向量

写成约旦标准型:

:是矩阵 的右特征向量或者广义特征向量

:是矩阵 的左特征向量或者广义特征向量

:为对应非零特征值 的约旦对角矩阵


我们令 ,其中 分别是矩阵 关于特征值 0 的特征向量和广义特征向量。

矩阵 有两个零特征值,那么 只有一个零特征值,即存在一个非负向量 ,其中 分别为矩阵 关于 0 特征值的广义左特征向量和左特征向量,其中 。特征值 有负实部,有:

时,

由以上可知 时, 。所以, 时,