一、简介

首先抛出一个业务问题:

假设产品经理让你设计一个模块,来统计PV(Page View页面的访问量),那么你会怎么做?

我想很多人对于PV(Page View页面的访问量)的统计会很快的想到使用Redis的incr、incrby指令,给每个网页配置一个独立Redis计数器就可以了,把这个技术区的key后缀加上当它的日期,这样一个请求过来,就可以通过执行incr、incrby指令统计所有PV。


此时当你完成这个需求后,产品经理又让你设计一个模块,统计UV(Unique Visitor,独立访客),那么你又会怎么做呢?

UV与PV不一样,UV需要根据用户ID去重,如果用户没有ID我们可能需要考虑使用用户访问的IP或者其他前端穿过了的唯一标志来区分,此时你可能会想到使用如下的方案来统计UV。

  1. 存储在MySQL数据库表中,使用distinct count计算不重复的个数
  2. 使用Redis的set、hash、bitmaps等数据结构来存储,比如使用set,我们可以使用用户ID,通过sadd加入set集合即可

但是上面的两张方案都存在两个比较大的问题:

  1. 随着数据量的增加,存储数据的空间占用越来越大,对于非常大的页面的UV统计,基本不合实际
  2. 统计的性能比较慢,虽然可以通过异步方式统计,但是性能并不理想


因此针对UV的统计,我们将会考虑使用Redis的新数据类型HyperLogLog.

HyperLogLog是用来做基数统计的算法,它提供不精确的去重计数方案(这个不精确并不是非常不精确),标准误差是0.81%,对于UV这种统计来说这样的误差范围是被允许的。HyperLogLog的优点在于,输入元素的数量或者体积非常大时,基数计算的存储空间是固定的。在Redis中,每个HyperLogLog键只需要花费12KB内存,就可以计算接近2^64个不同的基数。

但是:HyperLogLog只能统计基数的大小(也就是数据集的大小,集合的个数),他不能存储元素的本身,不能向set集合那样存储元素本身,也就是说无法返回元素。


HyperLogLog指令都是pf(PF)开头,这是因为HyperLogLog的发明人是Philippe Flajolet,pf是他的名字的首字母缩写。


二、命令

2.1 PFADD key element [element …]

将任意数量的元素添加到指定的 HyperLogLog 里面,当PFADD key element [element …]指令执行时,如果HyperLogLog的估计近似基数在命令执行之后出现了变化,那么命令返回1,否则返回0,如果HyperLogLog命令执行时给定的键不存在,那么程序将先创建一个空的HyperLogLog结构,再执行命令。

该命令可以只给定key不给element,这种以方式被调用时:

  • 如果给定的键存在且已经是一个HyperLogLog,那么这种调用不会产生任何效果
  • 如果给定的键不存在,那么命令会闯进一个空的HyperLogLog,并且给客户端返回1


返回值:

如果HyperLogLog数据结构内部存储的数据被修改了,那么返回1,否则返回0


时间复杂度:

O(1)


使用示例:

#yyds干货盘点#HyperLogLog_数据


2.2 PFCOUNT key [key …]

PFCOUNT 指令后面可以跟多个key,当PFCOUNT key [key …]命令作用于单个键时,返回存储在给定键的HyperLogLog的近似基数,如果键不存在,则返回0;当PFCOUNT key [key …]命令作用于多个键时,返回所给定HyperLogLog的并集的近似基数,这个近似基数是通过将索引给定HyperLogLog合并至一个临时HyperLogLog来计算得出的。


返回值:

返回给定HyperLogLog包含的唯一元素的近似数量的整数值


时间复杂度:

当命令作用于单个HyperLogLog时,时间复杂度为O(1),并且具有非常低的平均常数时间。当命令作用于N个HyperLogLog时,时间复杂度为O(N),常数时间会比单个HyperLogLog要大的多。


使用示例:

#yyds干货盘点#HyperLogLog_perl_02


2.3 PFMERGE destkey sourcekey [sourcekey …]

将多个HyperLogLog合并到一个HyperLogLog中,合并后HyperLogLog的基数接近于所有输入HyperLogLog的可见集合的并集,合并后得到的HyperLogLog会被存储在destkey键里面,如果该键不存在,那么命令在执行之前,会先为该键创建一个空的HyperLogLog。


返回值:

字符串回复,返回OK


时间复杂度:

O(N),其中N为被合并的HyperLogLog的数量,不过这个命令的常数复杂度比较高


使用示例:

#yyds干货盘点#HyperLogLog_数据_03


三、原理

3.1 伯努利试验

HyperLogLog的算法设计能使用12k的内存来近似的统计2^64个数据,这个和伯努利试验有很大的关系,因此在探究HyperLogLog原理之前,需要先了解一下伯努利试验。


以下是百度百科关于伯努利试验的介绍:

伯努利试验(Bernoulli experiment)是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验,其特点是该随机试验只有两种可能结果:发生或者不发生。我们假设该项试验独立重复地进行了n次,那么就称这一系列重复独立的随机试验为​n重伯努利试验​,或称为伯努利概型。单个伯努利试验是没有多大意义的,然而,当我们反复进行伯努利试验,去观察这些试验有多少是成功的,多少是失败的,事情就变得有意义了,这些累计记录包含了很多潜在的非常有用的信息。

伯努利试验是数据概率论中的一部分,它的典故源于“抛硬币”。

一个硬币只有正面和反面,每次抛硬币出现正反面的概率都是50%,我们一直抛硬币直到出现第一次正面为止,记录抛硬币的次数,这个就被称为一次伯努利试验。伯努利试验需要做非常多的次数,数据才会变得有意义。

对于n次伯努利试验,出现正面的次数为n,假设每次伯努利试验抛掷的次数为k(也就是每次出现正面抛掷的次数),第一次伯努利试验抛掷次数为k1,第n次伯努利试验抛掷次数为kn,在这n次伯努利试验中,抛掷次数最大值为kmax。

上述的伯努利试验,结合极大似然估算方法​​(极大似然估计)​​,得出n和kmax之间的估算关系:n=2^kmax。很显然这个估算关系是不准确的,例如如下案例:

第一次试验:抛掷1次出现正面,此时k=1,n=1;

第二次实验:抛掷3次出现正面,此时k=3,n=2;

第三次实验:抛掷6次出现正面,此时k=6,n=3;

第n次试验:抛掷10次出现正面,此时k=10,n=n,通过估算关系计算,n=2^10

上述案例可以看出,假设n=3,此时通过估算关系n=2^kmax,2^6 ≠3,而且偏差很大。因此得出结论,这种估算方法误差很大。


3.2 估值优化

关于上述估值偏差较大的问题,可以采用如下方式结合来缩小误差:

  1. 增加测试的轮数,取平均值。假设三次伯努利试验为1轮测试,我们取出这一轮试验中最大的的kmax作为本轮测试的数据,同时我们将测试的轮数定位100轮,这样我们在100轮实验中,将会得到100个kmax,此时平均数就是(k_max_1 + ... + k_max_m)/m,这里m为试验的轮数,此处为100.
  2. 增加修正因子,修正因子是一个不固定的值,会根据实际情况来进行值的调整。

上述这种增加试验轮数,去kmax的平均值的方法,是LogLog算法的实现。因此LogLog它的估算公式如下:

#yyds干货盘点#HyperLogLog_数据_04

HyperLogLog与LogLog的区别在于HyperLogLog使用的是调和平均数,并非平均数。调和平均数指的是倒数的平均数​​(调和平均数)​​。调和平均数相比平均数能降低最大值对平均值的影响,这个就好比我和马爸爸两个人一起算平均工资,如果用平均值这么一下来我也是年薪数十亿,这样肯定是不合理的。

使用平均数和调和平均数计算方式如下:

假设我的工资20000,马云1000000000

使用平均数的计算方式:(20000 + 1000000000) / 2 = 500010000

调和平均数的计算方式:2/(1/20000 + 1/1000000000) ≈ 40000

很明显,平均工资月薪40000更加符合实际平均值,5个亿不现实。

调和平均数的基本计算公式如下:

#yyds干货盘点#HyperLogLog_redis_05


3.3 HyperLogLog的实现

根据3.1和3.2大致可以知道HyperLogLog的实现原理了,它的主要精髓在于通过记录下低位连续零位的最大长度K(也就是上面我们说的kmax),来估算随机数的数量n。

#yyds干货盘点#HyperLogLog_redis_06

任何值在计算机中我们都可以将其转换为比特串,也就是0和1组成的bit数组,我们从这个bit串的低位开始计算,直到出现第一个1为止,这就好比上面的伯努利试验抛硬币,一直抛硬币直到出现第一个正面为止(只是这里是数字0和1,伯努利试验中使用的硬币的正与反,并没有区别)。而HyperLogLog估算的随机数的数量,比如我们统计的UV,就好比伯努利试验中试验的次数。


综上所述,HyperLogLog的实现主要分为三步:

第一步:转为比特串

通过hash函数,将输入的数据装换为比特串,比特串中的0和1可以类比为硬币的正与反,这是实现估值统计的第一步

第二步:分桶

分桶就是上面3.2估值优化中的分多轮,这样做的的好处可以使估值更加准确。在计算机中,分桶通过一个单位是bit,长度为L的大数组S,将数组S平均分为m组,m的值就是多少轮,每组所占有的比特个数是相同的,设为 P。得出如下关系:

  • L = S.length
  • L = m * p
  • 数组S的内存 = L / 8 / 1024 (KB)

在HyperLogLog中,我们都知道它需要12KB的内存来做基数统计,原因就是HyperLogLog中m=16384,p=6,L=16384 * 6,因此内存为=16384 * 6 / 8 / 1024 = 12 (KB),这里为何是6位来存储kmax,因为6位可以存储的最大值为64,现在计算机都是64位或32位操作系统,因此6位最节省内存,又能满足需求。

#yyds干货盘点#HyperLogLog_数组_07

第三步:桶分配

最后就是不同的数据该如何分配桶,我们通过计算hash的方式得到比特串,只要hash函数足够好,就很难产生hash碰撞,我们假设不同的数值计算得到不同的hash值,相同的数值得到相同的hash值(这也是HyperLogLog能用来统计UV的一个关键点),此时我们需要计算值应该放到那个桶中,可以计算的方式很多,比如取值的低16位作为桶索引值,或者采用值取模的方式等等。


3.4 代码实现-BernoulliExperiment(伯努利试验)

首先来写一个3.1中伯努利试验n=2^kmax的估算值验证,这个估算值相对偏差会比较大,在试验轮次增加时估算值的偏差会有一定幅度的减小,其代码示例如下:

package com.lizba.pf;  import java.util.concurrent.ThreadLocalRandom;  /**  * <p>  *      伯努利试验 中基数n与kmax之间的关系  n = 2^kmax  * </p>  *  * @Author: Liziba  * @Date: 2021/8/17 23:16  */ public class BernoulliExperimentTest {      static class BitKeeper {          /** 记录最大的低位0的长度 */         private int kmax;           public void random() {             // 生成随机数             long value = ThreadLocalRandom.current().nextLong(2L << 32);             int len = this.lowZerosMaxLength(value);             if (len > kmax) {                 kmax = len;             }          }          /**          * 计算低位0的长度          * 这里如果不理解看下我的注释          * value >> i 表示将value右移i,  1<= i <32 , 低位会被移出          * value << i 表示将value左移i,  1<= i <32 , 低位补0          * 看似一左一右相互抵消,但是如果value低位是0右移被移出后,左移又补回来,这样是不会变的,但是如果移除的是1,补回的是0,那么value的值就会发生改变          * 综合上面的方法,就能比较巧妙的计算低位0的最大长度          *          * @param value          * @return          */         private int lowZerosMaxLength(long value) {             int i = 1;             for (; i < 32; i++) {                 if (value >> i << i != value) {                     break;                 }             }             return i - 1;         }      }       static class Experiment {         /** 测试次数n */         private int n;         private BitKeeper bitKeeper;          public Experiment(int n) {             this.n = n;             this.bitKeeper = new BitKeeper();         }          public void work() {             for(int i = 0; i < n; i++) {                 this.bitKeeper.random();             }         }          /**          * 输出每一轮测试次数n          * 输出 logn / log2 = k 得 2^k = n,这里的k即我们估计的kmax          * 输出 kmax,低位最大0位长度值          */         public void debug() {             System.out.printf("%d %.2f %d\n", this.n, Math.log(this.n) / Math.log(2), this.bitKeeper.kmax);         }     }      public static void main(String[] args) {         for (int i = 0; i < 100000; i++) {             Experiment experiment = new Experiment(i);             experiment.work();             experiment.debug();         }     }  }

我们可以通过修改main函数中,测试的轮次,再根据输出的结果来观察,n=2^kmax这样的结果还是比较吻合的。

#yyds干货盘点#HyperLogLog_perl_08


3.5 代码实现-HyperLogLog

接下来根据HyperLogLog中采用调和平均数+分桶的方式来做代码优化,模拟简单版本的HyperLogLog算法的实现,其代码如下:

package com.lizba.pf;  import java.util.concurrent.ThreadLocalRandom;  /**  * <p>  *      HyperLogLog 简单实现  * </p>  *  * @Author: Liziba  * @Date: 2021/8/18 10:40  */ public class HyperLogLogTest {      static class BitKeeper {          /** 记录最大的低位0的长度 */         private int kmax;           /**          * 计算低位0的长度,并且保存最大值kmax          *          * @param value          */         public void random(long value) {             int len = this.lowZerosMaxLength(value);             if (len > kmax) {                 kmax = len;             }         }          /**          * 计算低位0的长度          * 这里如果不理解看下我的注释          * value >> i 表示将value右移i,  1<= i <32 , 低位会被移出          * value << i 表示将value左移i,  1<= i <32 , 低位补0          * 看似一左一右相互抵消,但是如果value低位是0右移被移出后,左移又补回来,这样是不会变的,但是如果移除的是1,补回的是0,那么value的值就会发生改变          * 综合上面的方法,就能比较巧妙的计算低位0的最大长度          *          * @param value          * @return          */         private int lowZerosMaxLength(long value) {             int i = 1;             for (; i < 32; i++) {                 if (value >> i << i != value) {                     break;                 }             }             return i - 1;         }     }       static class Experiment {          private int n;         private int k;         /** 分桶,默认1024,HyperLogLog中是16384个桶,并不适合我这里粗糙的算法 */         private BitKeeper[] keepers;          public Experiment(int n) {             this(n, 1024);         }          public Experiment(int n, int k) {             this.n = n;             this.k = k;             this.keepers = new BitKeeper[k];             for (int i = 0; i < k; i++) {                 this.keepers[i] = new BitKeeper();             }         }          /**          * (int) (((m & 0xfff0000) >> 16) % keepers.length) -> 计算当前m在keepers数组中的索引下标          * 0xfff0000 是一个二进制低16位全为0的16进制数,它的二进制数为 -> 1111111111110000000000000000          * m & 0xfff0000 可以保理m高16位, (m & 0xfff0000) >> 16 然后右移16位,这样可以去除低16位,使用高16位代替高16位          * ((m & 0xfff0000) >> 16) % keepers.length 最后取模keepers.length,就可以得到m在keepers数组中的索引          */         public void work() {             for (int i = 0; i < this.n; i++) {                 long m = ThreadLocalRandom.current().nextLong(1L << 32);                 BitKeeper keeper = keepers[(int) (((m & 0xfff0000) >> 16) % keepers.length)];                 keeper.random(m);             }         }          /**          * 估算 ,求倒数的平均数,调和平均数          *          * @return          */         public double estimate() {             double sumBitsInverse = 0.0;             // 求调和平均数             for (BitKeeper keeper : keepers) {                 sumBitsInverse += 1.0 / (float) keeper.kmax;             }             double avgBits = (float) keepers.length / sumBitsInverse;             return Math.pow(2, avgBits) * this.k;         }      }      /**      * 测试      *      * @param args      */     public static void main(String[] args) {         for (int i = 100000; i < 1000000; i+=100000) {             Experiment experiment = new Experiment(i);             experiment.work();             double estimate = experiment.estimate();             // i 测试数据             // estimate 估算数据             // Math.abs(estimate - i) / i 偏差百分比             System.out.printf("%d %.2f %.2f\n", i, estimate, Math.abs(estimate - i) / i);         }     }  }

测试结果如下,误差基本控制在0.08以下,还是很高的误差,所以说算法很粗糙

#yyds干货盘点#HyperLogLog_数组_09