微分中值定理

# 该文转载马同学知乎 (在此给马同学高数打个广告,推荐购买马同学图解系列课程)

0x00 概述 

微分中值定理是很重要的基础定理,很多定理都是以它为基础进行证明的。

 

0x01 罗尔中值定理

1.1 直觉

这是往返跑:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率

可以认为他从高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_02 点出发,经过一段时间又回到了高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_03 点,画成高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_04 (位移-时间)图就是

 高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_05

 

 根据常识,因为要回到起点,中间必定有速度为0的点:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_06

 

 拳击比赛中,步伐复杂:

 高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_07

 但不论怎样,只要最后回到起点,中间必定有速度为0的点:

 高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_08

 

 这就是罗尔中值定理。

 

1.2 罗尔中值定理

设函数满足以下三个条件:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_09

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_10在闭区间高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_11连续是必须的,否则有可能没有高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_12

 

 高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_13

 

 在开区间高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_14可导也是必须的:

 

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_15

 

 

1.3 拓展

可能有的同学觉得,定理中的条件“ 高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_16在闭区间高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_17连续、在高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_18可导”比较古怪,

为什么不是“高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_19在闭区间高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_20连续、在高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_21 可导”?

 

大概有两个原因,首先,“开区间可导”条件更弱,包含了“闭区间可导”;其次,”开区间可导”的函数并不一定就“闭区间可导”,

比如:

 高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_22

 

此函数在图像如下:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_23

 

 此函数就是在高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_24 连续,高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_25 可导,在端点高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_26 处导数不存在(类似于高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_27在0点处不可导,可自行证明)。

 

0x02 拉格朗日中值定理

 2.1 直觉

来看下交通管理中的区间测速:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_28

时间高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_29 采集到汽车的位移为高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_30 ,时间高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_31 采集到汽车的位移为高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_32

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_33

 

 可以据此算出平均速度为:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_34

 

 

比如算出来平均速度为高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_35 ,平均速度是由瞬时速度叠加的结果,那么路程中的瞬时速度可能为:

  • 匀速前进:那么整个路程的瞬时速度必然全为高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_35
  • 变速前进:整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_35的情况

下面是变速前进的速度变换动画(蓝色为大于,闪烁为平行即等于,绿色为小于):

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_38

 

 如果限速高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_39 ,那么根据汽车的平均速度为高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_40 ,就可以判定路程中必然至少有一个点超速。

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_41

 

 约瑟夫·拉格朗日伯爵,法国籍意大利裔数学家和天文学家,以他命名的拉格朗日中值定理就可以在数学层面解释刚才的现象。

 

2.2 拉格朗日中值定理

设函数满足以下两个条件:

  • 高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_42

这个定理的几何意义就是,至少存在一点的切线与端点的连线平行;物理意义是,至少存在一点的速度与平均速度相等:

 高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_43

 

把它旋转一下,使得高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_44 :

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_45

得到的就是罗尔中值定理,可见罗尔是拉格朗日的特例:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_46

 

 

0x03  柯西中值定理

3.1  二维空间中的运动

之前讨论的是一维空间中的运动,下面来看看二维空间中的运动(关于这点,可以参看课程中“参数方程求导与相关变化率”这一节)。

假设参数方程:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_47

 

 描述了一个二维空间中的运动:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_48

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_49

为了方便描述,令高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_50 、高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_51 ,那么上图描述的就是高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_52 时刻在高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_53 位置,高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_54 时刻运动到了高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_55 位置。

向量高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_56 就表明了最终的运动方向:

 高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_57

 仔细分析此运动过程,刚开始的时候,速度高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_58 的方向与高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_59 相反,也就是说点是反着走的:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_60

所以需要不断转弯调整:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_61

最终才能到达目的地:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_62

 

容易想象,在转弯调整的过程中,必然会有高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_63 和高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_64 同向的时刻,比如高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_65 时刻:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_66

 

 那么两者所在直线必然也平行:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_67

  此时,高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_68 所在直线的斜率:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_69

 以及高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_70 所在直线的斜率(根据参数方程的求导法则):

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_71

 

 必然相等:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_72

 

 这就是柯西中值定理

 

3.2 柯西定理

 

设函数高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_73满足以下条件:

  • 高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_74在闭区间高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_75上连续
  • 高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_76在开区间高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_77上可导
  • 高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_78有:高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_79

则存在高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_80 ,使等式高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_81成立。

可以把高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_82 组合成参数方程:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_斜率_83

 

 这样柯西中值定理就有类似于拉格朗日中值定理一样的几何意义:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_连线_84

如果:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_85

 

 那么柯西中值定理就变为了拉格朗日中值定理,所以拉格朗日又是柯西的特例。

 

0x04 总结

三大微分中值定理的联系与区别:

高数学习笔记之三大微分中值定理(罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理)_二维_86