二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)

因为关于二维随机变量主题内容重要,难度大,例题多,最主要是积分区间的确定是难点,同时关联卷积概念,求二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,卷积公式容易,积分区间难以确定,所以分成上中下三篇博客写。

一。问题的引入

有一大群人,令X和Y分别表示一个人的年龄和体重,Z表示该人的血压,并且已知Z与X,Y的关系为 Z=g(X,Y), 如何通过X,Y的分布确定Z的分布?

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二。公式

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特殊类型 :Z=X+Y,怎样确定Z的分布?如何求Z的概率密度?
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当X与Y相互独立时, 就得到所谓的 卷积公式
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三。已知f(x,y),如何计算Z=X+Y型的概率密度 二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上) 及概率分布 二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)

根据理解或者根据上面的公式,我们知道 二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上) 是将f(x,y)求一次积分, 二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上) 是求二次积分,难点问题在于 如何确定积分区间?需要分成几个区间 ?

对于Z=X+Y型的关系,假设对x求一次积分,得到 二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)
表示成
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那么我们要画出一个 x--z的坐标,确定积分区间

1)积分区间的左右两边,由x的上下区间决定
假设 x的区间在[a,b]之间, 二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)
那么积分的左右边界就是a到b

2)根据关系式
z=x+y, 由于坐标系是x--z的关系,那么y就是变常量
z的最小值:二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)
z的最大值:二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)
积分的上下边界就是 二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)

因为我们讨论的f_{z}(z)是按照x积分:
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所以按照x积分,积分区间就要分成三段:红色区间,蓝色区间,绿色区间

1) 红色区间 ,
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x积分区间= a 到 Z-Ymin
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2) 蓝色区间
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x积分区间= Z-Ymax 到 Z-Ymin
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3) 绿色区间
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x积分区间= Z-Ymax 到 1
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当x的a,b左右对称时,中间蓝色区间没有,只有两个积分区间:
红色区间 和 绿色区间

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【例一】设(X,Y)的联合密度函数为
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(1)问X,Y是否独立?
(2)求Z=2X+Y的密度函数 二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)和分布函数 二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)

(3)求P{Z>3}

【解】
(1) 问X,Y是否独立?
X,Y独立的条件
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所以
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(2)求Z=2X+Y的密度函数 二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)和分布函数 二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)

(2.1)先求密度函数 二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)

Z=g(X,Y)=2X+Y

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可以利用卷积公式
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画一个 x-z 的坐标系

Z方向下限:
二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上) = 2X+0

Z方向上限:
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图:

公式:
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参考书目:

张天德,叶宏 《星火燎原·概率论与数理统计辅导及习题精解》(浙大·第4版)第三章