基本介绍

给定n个权值作为n个叶子结点,构造一棵二叉树,若该树的带权路径长度(wpl)达到最小,称这样的二叉树为最优二叉树,也称为哈夫曼树(Huffman Tree), 还有的书翻译为霍夫曼树。赫夫曼树是带权路径长度最短的树,权值较大的结点离根较近。

赫夫曼树几个重要概念和举例说明

  • 路径和路径长度:在一棵树中,从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路,称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1,则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1
  • 结点的权及带权路径长度:若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值,则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为:从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积
  • 树的带权路径长度:树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和,记为WPL(weighted path length) ,权值越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。
  • WPL最小的就是赫夫曼树

如下图中间wpl最小则是赫夫曼树
image.png

构成赫夫曼树的步骤:

  • 小到大进行排序, 将每一个数据,每个数据都是一个节点 , 每个节点可以看成是一颗最简单的二叉树
  • 取出根节点权值最小的两颗二叉树组成一颗新的二叉树
  • 新的二叉树的根节点的权值是前面两颗二叉树根节点权值的和
  • 将这颗新的二叉树,以根节点的权值大小 放回数列中再次排序
  • 不断重复 上述的步骤,直到数列中,所有的数据都被处理,就得到一颗赫夫曼树

eg.

给你一个数列 {13, 7, 8, 3, 29, 6, 1},要求转成一颗赫夫曼树.

  • 小到大进行排序--->{==1,3==,6,7,8,13,29}

  • 取出根节点权值最小的两颗二叉树组成一颗新的二叉树

    如下图所示:
    image.png

  • 重新排序 --->{==4,6==,7,8,13,29}

  • 取出根节点权值最小的两颗二叉树组成一颗新的二叉树

    如下图所示:
    image.png

  • 重新排序 --->{==7,8==,10,13,29}

  • 取出根节点权值最小的两颗二叉树组成一颗新的二叉树

    如下图所示:
    image.png

  • 重新排序 --->{==10,13==,15,29}

  • 取出根节点权值最小的两颗二叉树组成一颗新的二叉树

    如下图所示:
    image.png

  • 重新排序 --->{==15,23==,29}

  • 取出根节点权值最小的两颗二叉树组成一颗新的二叉树

    如下图所示:
    image.png

  • 重新排序 --->{==29,38==}

  • 取出根节点权值最小的两颗二叉树组成一颗新的二叉树

    如下图所示:
    image.png

  • 至此WPL就是最小的赫夫曼树

赫夫曼树的代码实现

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;

/**
 * @author 谢阳
 * @version 1.8.0_131
 */
@SuppressWarnings("all")
public class HuffmanTree {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {13, 7, 8, 3, 29, 6, 1};
        Node huffmanTree = createHuffmanTree(arr);
        postOrder(huffmanTree);
    }

    //创建赫夫曼数
    public static Node createHuffmanTree(int[] arr) {
        //创建集合方便排序
        ArrayList<Node> nodes = new ArrayList<>();

        //将数据创建为node并添加集合中
        for (int value : arr) {
            nodes.add(new Node(value));
        }

        Node parent;//父结点
        Node leftNode;//左子结点
        Node rightNode;//右子结点
        while (nodes.size() > 1) {
            //对数据排序
            Collections.sort(nodes);

            //取出最小两个的结点
            leftNode = nodes.remove(0);
            rightNode = nodes.remove(0);

            //创建父结点并指向子结点
            parent = new Node(leftNode.value + rightNode.value);
            parent.left = leftNode;
            parent.right = rightNode;

            //添加到集合中
            nodes.add(parent);
        }
        return nodes.remove(0);
    }

    //前序遍历
    public static void preOrder(Node root) {
        if (root == null) {
            return;
        } else {
            root.preOrder();
        }
    }

    //中序遍历
    public static void infixOrder(Node root) {
        if (root == null) {
            return;
        } else {
            root.infixOrder();
        }
    }

    //后序遍历
    public static void postOrder(Node root) {
        if (root == null) {
            return;
        } else {
            root.postOrder();
        }
    }

}

//创建结点类
class Node implements Comparable<Node> {
    int value;//结点权值
    Node left;//指向左子结点
    Node right;//指向右子结点

    public Node(int value) {
        this.value = value;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "[value = " + value + "]";
    }

    @Override
    public int compareTo(Node o) {
        return this.value - o.value;//升序
    }

    //前序遍历
    public void preOrder() {
        System.out.println(this);

        if (this.left != null) {
            this.left.preOrder();
        }

        if (this.right != null) {
            this.right.preOrder();
        }
    }

    //中序遍历
    public void infixOrder() {

        if (this.left != null) {
            this.left.infixOrder();
        }
        System.out.println(this);

        if (this.right != null) {
            this.right.infixOrder();
        }
    }

    //后序遍历
    public void postOrder() {
        if (this.left != null) {
            this.left.postOrder();
        }

        if (this.right != null) {
            this.right.postOrder();
        }
        System.out.println(this);
    }
}