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这道题我们在枚举完三角数后，最重要的是去判断何时某个三角数约数的个数大于 500

下面我们来看下，针对计算约数的个数问题，用不同的算法解决，逐步求得最优解

方法 1

最简单，更是非常容易理解的方法


复杂度：快速计算约数的个数——从基础到高级_算法


主要思想：定义变量，使其在小于传入判断值的条件下从 1 开始自增，如果判断值和该变量进行模取运算后的值为 0，则说明该变量此时的值是判断值得一个约数。那么，程序计数器自增，记录下此值。循环结束后，输出计数器保存的值即为判断值约数的个数

这种方法优点除易于理解外，怕是没有优点了。缺点当然就是时间复杂度太高，一个值就需要去从 1 一直判断到该值。试想，如果数据量呈指数增长，这种方法恐怕在一般的计算机上不容易很快得到答案

实现代码如下

int check(long long n)
{
    int count = 0;
    long long i = 1; //注意数据范围
    while (i <= n)
    {
        if (n % i == 0) //成立,这说明此时 i 为 n 的一个约数
        {
            count++; //计数器自增
        }
        i++; //继续判断下一个数字是否为 i 的约数
    }
    return count;
}

方法 2


复杂度：快速计算约数的个数——从基础到高级_优化_02


主要思想：对比可以看出，方法一和方法二差别不大，但影响最关键的是它们的复杂度，直接由 快速计算约数的个数——从基础到高级_优化_03 降至 快速计算约数的个数——从基础到高级_优化_04

同样，仍然是暴力枚举，只不过这里的判断条件由 ​​i < = n​​​ 变为 ​​i * i < = n​​​，复杂度优化了些许。进入 ​​for()​​​ 循环后，如果 ​​n % i == 0​​​ ，那么说明此时的 ​​i​​​ 值是 ​​n​​ 的一个约数

大家在这里要注意的是 ​​if...else​​ 语句内容，这里主要解释下此处和方法一的差别

举个例子，如果 ​​n = 4​​​ ，​​i = 2​​​，满足 ​​2 × 2 = 4​​​ 的条件，但此时 ​​4​​​ 的两个约数 ​​2​​​ 相当于一个，程序计数器只能自增 ​​1​​​ ，而不是 ​​2​​

当然，如果进入 ​​for()​​​ 循环后，不满足条件 ​​i * i = n​​​ ，那么自然是两个不同的约数，此时程序计数器需要增加 ​​2​​​，而不是 ​​1​​

int check(long long n)
{
    int count = 0;
    for (long long i = 1; i * i <= n; i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            if (i * i == n) // 区别所在,重点理解
                count++;
            else
                count += 2;
        }
    }
    return count;
}

方法 3


试除法求解


vector<int> get_divisors(int n)
{
    vector<int> res;
    for (int i = 1; i <= n / i; i++)
        if (n % i == 0)
        {
            res.push_back(i);
            if (i != n / i)
                res.push_back(n / i);
        }
    sort(res.begin(), res.end());
    return res;
}

LeetCode ​​题解思路​​

方法四

约数个数定理

设一个数可以表示为其素数幂的乘积，即：

快速计算约数的个数——从基础到高级_约数个数_05

则该数的约数个数为：

快速计算约数的个数——从基础到高级_约数个数_06

参考代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int N, n, i, s, r;
    while (scanf("%d", &N) != EOF)
    {
        while (N--)
        {
            cin >> n;
            s = 1;
            for (i = 2; i * i <= n; i++)
            {
                r = 0;
                while (n % i == 0)
                {
                    r++;
                    n /= i;
                }
                if (r > 0)
                {
                    r++;
                    s *= r;
                }
            }
            if (n > 1)
                s *= 2;
            cout << s;
        }
    }
    return 0;
}