理科数学试题参考答案
一． 选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．D    2．C    3．A    4．B    5．C    6．B    7．D    8．A    9．C   10．D    11．B    12．A    
二． 填空题：本小题共4小题，每小题4分，共16分．
    13．    14．1080    15．2    16．
三． 解答题：本大题共6小题，共74分．
17．（本小题满分12分）
解：（1）当时，
又由得，所以，
从而．
18．（本小题满分12分）
解：（1）的所有可能取值为：1,3,4,6
，所以的分布列为：
1
3
4[来源:学&科&网]
6
（2）（小时）[来源:Z_xx_k.Com]
20．（本小题满分12分）
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，
则．
又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD，所以MO//AB，
MO//平面ABC．M，O到平面ABC的距离相等．
作OHBC于H，连MH，则MHBC．
求得，．
设点A到平面MBC的距离为，由得
．
即，解得．
（2）延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面ACM与平面BCD的交线．
由（1）知，O是BE的中点，则四边形BCED是棱形．
作于F，连AF，则就是二面角的平面角，设为．
因为，所以．
,．
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则．又平面平面BCD，则平面BCD．取O为原点，直线OC、BO、OM为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图．，则各点坐标分别为
21．（本小题满分12分）
解：
（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，，可得，由，有，所以椭圆的离心率．
（2）由题设可知M，N关于轴对称，设，则由 的垂心为B，有，所以
……①[来源:学科网ZXXK]
由于点在上，故有              ……②
22．（本小题满分14分）
证明：
（1）易知成等差数列，则也成等差数列，所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列．
（2）若成等差数列，则有，
即                  ……①
选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于
因此令，可得
易验证满足①，因此成等差数列，
当时，有且
因此以为边长可以构成三角形，将此三角形记为．
其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：
据此例性质有：
所以，由此可得，与假设矛盾，即任两个三角形与互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且以成等差数列．