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前言

目前深度学习、AI研究很火爆,它们依赖的最底层就是简单的神经网络,本文将介绍神经网络基础,了解基本的神经网络原理,同时给出样例参考,该样例可以推广到其他的分类、回归问题分析

关键字:神经网络,BP,网络结构,梯度


正文

本文主要内容包括: (1) 介绍神经网络基本原理,(2)  Matlab实现前向神经网络的方法。

第0节、引例 

本文以Fisher的Iris数据集作为神经网络程序的测试数据集。

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_激活函数


由于英文的类无法识别,故需要把对应的类用数字标识,数据集变成:

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_激活函数_02


这里简要介绍一下Iris数据集:有一批Iris花,已知这批Iris花可分为3个品种,现需要对其进行分类。不同品种的Iris花的花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度会有差异。我们现有一批已知品种的Iris花的花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度的数据。一种解决方法是用已有的数据训练一个神经网络用作分类器。

第一节、神经网络基本原理 

1. 人工神经元( Artificial Neuron )模型 

 人工神经元是神经网络的基本元素,其原理可以用下图表示:

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_神经网络_03


图1:神经元

图中x1~xn是从其他神经元传来的输入信号,wij表示表示从神经元j到神经元i的连接权值,θ表示一个阈值 ( threshold ),或称为偏置( bias )。则神经元i的输出与输入的关系表示为:

 



  图中 yi表示神经元i的输出,函数f称为激活函数或转移函数 ( Transfer Function ) ,net称为净激活(net activation)。若将阈值看成是神经元i的一个输入x0的权重wi0,则上面的式子可以简化为:

 

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_激活函数_04

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_激活函数_05

  若用X表示输入向量,用W表示权重向量,即:

X = [ x0 , x1 , x2 , ....... , xn ]

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_归一化_06

  则神经元的输出可以表示为向量相乘的形式:

 

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_归一化_07

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_激活函数_08

 若神经元的净激活net为正,称该神经元处于激活状态或兴奋状态(fire),若净激活net为负,则称神经元处于抑制状态。

 图1中的这种“阈值加权和”的神经元模型称为M-P模型,也称为神经网络的一个处理单元( PE, Processing Element )

 

2. 常用激活函数 

 激活函数的选择是构建神经网络过程中的重要环节,下面简要介绍常用的激活函数。

(1) 线性函数 ( Liner Function )

      

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_激活函数_09

(2) 斜面函数 ( Ramp Function )

      


(3) 阈值函数 ( Threshold Function )

      


 以上3个激活函数都属于线性函数,下面介绍两个常用的非线性激活函数。

(4) S形函数 ( Sigmoid Function )



  该函数的导函数:

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_激活函数_10

(5) 双极S形函数 

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_神经网络_11


  该函数的导函数:

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_激活函数_12

S形函数与双极S形函数的图像如下:

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_归一化_13


图2. S形函数与双极S形函数图像

  双极S形函数与S形函数主要区别在于函数的值域,双极S形函数值域是(-1,1),而S形函数值域是(0,1)。

  由于S形函数与双极S形函数都是可导的(导函数是连续函数),因此适合用在BP神经网络中。(BP算法要求激活函数可导)

3. 神经网络模型 

 神经网络是由大量的神经元互联而构成的网络。根据网络中神经元的互联方式,常见网络结构主要可以分为下面3类:

(1) 前馈神经网络 (Feedforward Neural Networks )

 前馈网络也称前向网络。这种网络只在训练过程会有反馈信号,而在分类过程中数据只能向前传送,直到到达输出层,层间没有向后的反馈信号,因此被称为前馈网络。感知机( perceptron)与BP神经网络就属于前馈网络。

 图3中是一个3层的前馈神经网络,其中第一层是输入单元,第二层称为隐含层,第三层称为输出层(输入单元不是神经元,因此图中有2层神经元)。

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_归一化_14


图3. 前馈神经网络 

  对于一个3层的前馈神经网络N,若用X表示网络的输入向量,W1~W3表示网络各层的连接权向量,F1~F3表示神经网络3层的激活函数。

  那么神经网络的第一层神经元的输出为:

O1 = F1( XW1 )

  第二层的输出为:

O2 = F2 ( F1( XW1 ) W2 )

  输出层的输出为:

O3 = F3( F2 ( F1( XW1 ) W2 ) W3 )

 若激活函数F1~F3都选用线性函数,那么神经网络的输出O3将是输入X的线性函数。因此,若要做高次函数的逼近就应该选用适当的非线性函数作为激活函数。

(2) 反馈神经网络 (Feedback Neural Networks )

 反馈型神经网络是一种从输出到输入具有反馈连接的神经网络,其结构比前馈网络要复杂得多。典型的反馈型神经网络有:Elman网络和Hopfield网络。

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_归一化_15


图4. 反馈神经网络 

(3) 自组织网络 ( SOM ,Self-Organizing Neural Networks )

 自组织神经网络是一种无导师学习网络。它通过自动寻找样本中的内在规律和本质属性,自组织、自适应地改变网络参数与结构。

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_归一化_16


图5. 自组织网络 

4. 神经网络工作方式 

 神经网络运作过程分为学习和工作两种状态。

(1)神经网络的学习状态 

 网络的学习主要是指使用学习算法来调整神经元间的联接权,使得网络输出更符合实际。学习算法分为有导师学习( Supervised Learning )无导师学习( Unsupervised Learning )两类。

       有导师学习算法将一组训练集 ( training set )送入网络,根据网络的实际输出与期望输出间的差别来调整连接权。有导师学习算法的主要步骤包括:

1) 从样本集合中取一个样本(Ai,Bi);

2) 计算网络的实际输出O;

3) 求D=Bi-O;

4) 根据D调整权矩阵W;

5) 对每个样本重复上述过程,直到对整个样本集来说,误差不超过规定范围。

BP算法就是一种出色的有导师学习算法。

       无导师学习抽取样本集合中蕴含的统计特性,并以神经元之间的联接权的形式存于网络中。

(2) 神经网络的工作状态 

 神经元间的连接权不变,神经网络作为分类器、预测器等使用。

  下面简要介绍一下Hebb学习率与Delta学习规则 。

(3) 无导师学习算法:Hebb学习率 

Hebb算法核心思想是,当两个神经元同时处于激发状态时两者间的连接权会被加强,否则被减弱。 

 为了理解Hebb算法,有必要简单介绍一下条件反射实验。巴甫洛夫的条件反射实验:每次给狗喂食前都先响铃,时间一长,狗就会将铃声和食物联系起来。以后如果响铃但是不给食物,狗也会流口水。

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_神经网络_17


图6. 巴甫洛夫的条件反射实验 

  受该实验的启发,Hebb的理论认为在同一时间被激发的神经元间的联系会被强化。比如,铃声响时一个神经元被激发,在同一时间食物的出现会激发附近的另一个神经元,那么这两个神经元间的联系就会强化,从而记住这两个事物之间存在着联系。相反,如果两个神经元总是不能同步激发,那么它们间的联系将会越来越弱。

Hebb学习律可表示为:

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_激活函数_18


 其中wij表示神经元j到神经元i的连接权,yi与yj为两个神经元的输出,a是表示学习速度的常数。若yi与yj同时被激活,即yi与yj同时为正,那么Wij将增大。若yi被激活,而yj处于抑制状态,即yi为正yj为负,那么Wij将变小。

(4) 有导师学习算法:Delta学习规则

Delta学习规则是一种简单的有导师学习算法,该算法根据神经元的实际输出与期望输出差别来调整连接权,其数学表示如下:

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_激活函数_19


 其中Wij表示神经元j到神经元i的连接权,di是神经元i的期望输出,yi是神经元i的实际输出,xj表示神经元j状态,若神经元j处于激活态则xj为1,若处于抑制状态则xj为0或-1(根据激活函数而定)。a是表示学习速度的常数。假设xi为1,若di比yi大,那么Wij将增大,若di比yi小,那么Wij将变小。

规则简单讲来就是:若神经元实际输出比期望输出大,则减小所有输入为正的连接的权重,增大所有输入为负的连接的权重。反之,若神经元实际输出比期望输出小,则增大所有输入为正的连接的权重,减小所有输入为负的连接的权重。这个增大或减小的幅度就根据上面的式子来计算。

(5)有导师学习算法:BP算法 

  采用BP学习算法的前馈型神经网络通常被称为BP网络。

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_神经网络_20


图7. 三层BP神经网络结构 

BP网络具有很强的非线性映射能力,一个3层BP神经网络能够实现对任意非线性函数进行逼近(根据Kolrnogorov定理)。一个典型的3层BP神经网络模型如图7所示。

第二节、神经网络实现  

神经网络,全程为前馈神经网络,它被用到监督学习中的主体思想是(我们假定我们这里各个层Layer次间采用的是全链接):通过各个Layer层的激励和权值以及偏置的处理向前传递,最终得到一个预期的值,然后通过标签值和预期的值得到一个残差值,残差值的大小反映了预期值和残差值的偏离程度,然后使用反向传播算法(见下文),然后对上一层的推倒公式进行梯度(就是对应每一个变量x1,x2,x3,x4,x5,.....,xn求解偏导,见下文)求解,然后代入各个变量x,得到各个变量x 当前层Layer对应的权值w'(这个w'其实就是当前w偏离真实的w的残差值),然后依次的向上一层反向传播,最终到达Input层,这时候我们会就会得到各个层Layer相对应的权值w的偏离值,然后我们可以设定一个学习率(在caffe中是用l_r表示的),也就是步长,来设置我们参数更新的大小其实就是各个层layer当前的权值w加上对应的w的偏离值乘上这个步长即 w+=w‘*l_r,这样就达到了参数的更新,然后通过数次迭代调整好w,b参数,特别需要强调一下的是,b可以是固定的,也可以设置成跟w权值相关的,比如b=w/2 等等,视情况而定。

1、关于梯度

对于梯度,我们这里就从这几个角度进行一下解释,什么是梯度,梯度在BP网络中的作用,或者说为什么BP网络中要采用梯度。

什么是梯度?

 梯度,即求偏导,比如我们有这样一个函数,f = 2a +3b  ,如果我们求解a的梯度,fa = 2,如果我们求解b的梯度,f_b = 3。

以上就是对梯度最简单的描述,那个也是只有一层神经网络时的参数求解,但是在实际的网络模型中,我们基本上不会用那么简单的模型,我们一般用层数较多(大于2层的模型进行)的模型来解决我们所面临的问题,对于多层神经网络

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_神经网络_21


图8 多层神经网络

如图8是一个三层的神经网络,我们一般将其等化成数学中的复合函数,比如上图中这个三层的(全链接的)神经网络,其实用复合函数的公式表示就是这样:

对于第一层

                                   f1 = x1*w1_11 + x2*w1_12 +b1_1

                                   f2 = x1*w1_21 + x2*w1_22 +b1_2

                                   f3 = x1*w1_31 + x2*w1_32 +b1_3

然后进入到第二层

                                f4 = f1*w2_11 + f2*w2_12 + f3*w2_13 + b2_1

                                f5 = f1*w2_21 + f2*w2_22 + f3*w2_23 + b2_2

然后第三层

 f6 = f4*w3_11 + f5*w3_12 + b3_1

 这个其实就和 f = (1-x^2)^3 改写成 g =x^2 , t = 1-x , f = x^3 是一个道理

第一层:g = x^2

第二层:t =1-g  

第三层:  f = t^3      

我们对于这种复合函数求解梯度的步骤,如下:

 对t求偏导数 

 对g求偏导数

对x求偏导数

这就是求解梯度的过程,以上就是对于梯度的一个描述

 那么梯度在BP网路中起到何种作用?

 梯度在求解的过程中,其实就是对逐个变量进行求导,比如f =a(bx),我们将其改成复合函数f=ag ,g = bx ,对x进行求导,那么我们会得到变量的系数. 而我们所做的这一切就是为了得到这个,得到每一层Layer的各个变量对应的系数,这个系数非常重要,我们来举个例子说明一下,比如这个函数,f = a(bx),假设我们刚开始的时候随机的设定一个值给a = 0.23 , b=1 ,x去一系列值[1,2,3],我们都事先知道f的值对应[0.5,1,1.5],假定我们无法直接计算得到a的值为0.5,我们来一步步的估算a的,步骤如下:

不妨假定函数的真实值用ft表示,预估值用fp表示,残差用fre.

当 

而我们用公式得到fp =0.23,fre =  ft - fp =0.27,然后得到:are = 0.27*a,

注 are为a的偏差值

得到bre = b*are=1*0.27*a 

然后我们再求解b的更新值 b_n = b + l_r*bre*b(g求关于x的梯度)*1 (l_r为我们设定的学习率)

再更新 a_n = a + l_r*are*ab(f求关于x梯度的值)*1

这样 我们就对参数a,b进行了更新.

然后当x =2 ,ft=1 .....依次这样迭代更新 a,b

我们就是通过这种方式来进行参数更新的....

1.3关于梯度的反向传播

 反向传播就是将残差反推到各个参数上,求解各个参数的误差值,最后在每一个变量的梯度的方向上对误差进行修正,修正的幅度依据学习率而定.

 

2、数据预处理 

 在训练神经网络前一般需要对数据进行预处理,一种重要的预处理手段是归一化处理。下面简要介绍归一化处理的原理与方法。

(1) 什么是归一化? 

数据归一化,就是将数据映射到[0,1]或[-1,1]区间或更小的区间,比如(0.1,0.9) 。

(2) 为什么要归一化处理? 

<1>输入数据的单位不一样,有些数据的范围可能特别大,导致的结果是神经网络收敛慢、训练时间长。

<2>数据范围大的输入在模式分类中的作用可能会偏大,而数据范围小的输入作用就可能会偏小。

<3>由于神经网络输出层的激活函数的值域是有限制的,因此需要将网络训练的目标数据映射到激活函数的值域。例如神经网络的输出层若采用S形激活函数,由于S形函数的值域限制在(0,1),也就是说神经网络的输出只能限制在(0,1),所以训练数据的输出就要归一化到[0,1]区间。

<4>S形激活函数在(0,1)区间以外区域很平缓,区分度太小。例如S形函数f(X)在参数a=1时,f(100)与f(5)只相差0.0067。

(3) 归一化算法 

  一种简单而快速的归一化算法是线性转换算法。线性转换算法常见有两种形式:

       <1>  y = ( x - min )/( max - min )

  其中min为x的最小值,max为x的最大值,输入向量为x,归一化后的输出向量为y 。上式将数据归一化到 [ 0 , 1 ]区间,当激活函数采用S形函数时(值域为(0,1))时这条式子适用。

       <2>  y = 2 * ( x - min ) / ( max - min ) - 1

 这条公式将数据归一化到 [ -1 , 1 ] 区间。当激活函数采用双极S形函数(值域为(-1,1))时这条式子适用。

(4) Matlab数据归一化处理函数 

Matlab中归一化处理数据可以采用premnmx , postmnmx , tramnmx 这3个函数。

<1> premnmx

语法:[pn,minp,maxp,tn,mint,maxt] = premnmx(p,t)

参数:

pn:p矩阵按行归一化后的矩阵

minp,maxp:p矩阵每一行的最小值,最大值

tn:t矩阵按行归一化后的矩阵

mint,maxt:t矩阵每一行的最小值,最大值

作用:将矩阵p,t归一化到[-1,1] ,主要用于归一化处理训练数据集。

<2> tramnmx

语法:[pn] = tramnmx(p,minp,maxp)

参数:

minp,maxp:premnmx函数计算的矩阵的最小,最大值

pn:归一化后的矩阵

作用:主要用于归一化处理待分类的输入数据。

<3> postmnmx

语法: [p,t] = postmnmx(pn,minp,maxp,tn,mint,maxt)

参数:

minp,maxp:premnmx函数计算的p矩阵每行的最小值,最大值

mint,maxt:premnmx函数计算的t矩阵每行的最小值,最大值

作用:将矩阵pn,tn映射回归一化处理前的范围。postmnmx函数主要用于将神经网络的输出结果映射回归一化前的数据范围。

3、使用Matlab实现神经网络 

使用Matlab建立前馈神经网络主要会使用到下面3个函数:

newff :前馈网络创建函数

train:训练一个神经网络

sim :使用网络进行仿真

下面简要介绍这3个函数的用法。

(1) newff函数语法 

函数参数列表有很多的可选参数,具体可以参考Matlab的帮助文档,这里介绍newff函数的一种简单的形式。

语法:net = newff ( A, B, {C} ,‘trainFun’)

参数:

A:一个n×2的矩阵,第i行元素为输入信号xi的最小值和最大值;

B:一个k维行向量,其元素为网络中各层节点数;

C:一个k维字符串行向量,每一分量为对应层神经元的激活函数

trainFun :为学习规则采用的训练算法

(2)常用的激活函数

  常用的激活函数有:

a) 线性函数 (Linear transfer function)

       f(x) = x

  该函数的字符串为’purelin’。

      b) 对数S形转移函数( Logarithmic sigmoid transfer function )

                 

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_神经网络_22

 该函数的字符串为’logsig’。

c) 双曲正切S形函数 (Hyperbolic tangent sigmoid transfer function )

                 

4.深度学习(1) --神经网络编程入门_归一化_23

  也就是上面所提到的双极S形函数。 

  该函数的字符串为’ tansig’。

Matlab的安装目录下的toolbox\nnet\nnet\nntransfer子目录中有所有激活函数的定义说明。

(3)常见的训练函数

 常见的训练函数有:

traingd :梯度下降BP训练函数(Gradient descent backpropagation)

traingdx :梯度下降自适应学习率训练函数

(4)网络配置参数

一些重要的网络配置参数如下:

net.trainparam.goal  :神经网络训练的目标误差

net.trainparam.show   :显示中间结果的周期

net.trainparam.epochs  :最大迭代次数

net.trainParam.lr    :学习率

(5) train函数

 网络训练学习函数。

语法:[ net, tr, Y1, E ]  = train( net, X, Y )

参数:

X:网络实际输入

Y:网络应有输出

tr:训练跟踪信息

Y1:网络实际输出

E:误差矩阵

(6) sim函数

语法:Y=sim(net,X)

参数:

net:网络

X:输入给网络的K×N矩阵,其中K为网络输入个数,N为数据样本数

Y:输出矩阵Q×N,其中Q为网络输出个数

 

(4) Matlab BP网络实例 

 我将Iris数据集分为2组,每组各75个样本,每组中每种花各有25个样本。其中一组作为以上程序的训练样本,另外一组作为检验样本。为了方便训练,将3类花分别编号为1,2,3 。

  使用这些数据训练一个4输入(分别对应4个特征),3输出(分别对应该样本属于某一品种的可能性大小)的前向网络。

clc
close all
clear
data = xlsread('Iris.csv');
% 打乱数据
flag = length(data);
order = randperm(flag);
nbertrain = round(0.7*flag);% 提取训练和验证数据 70% 训练,30% 验证
XTrain = data(order(1:nbertrain),2:5);
YTrain = data(order(1:nbertrain),7);
XValidation = data(order(nbertrain+1:flag),2:5);
YValidation = data(order(nbertrain+1:flag),7);
%特征值归一化
[input,minI,maxI] = premnmx( XTrain') ;
%构造输出矩阵
s = length( YTrain) ;
output = zeros( s , 3 ) ;
for i = 1 : s
output( i , YTrain( i ) ) = 1 ;
end
%创建神经网络
% logsig:对数S形转移函数;purelin:线性函数
% traingdx :梯度下降自适应学习率训练函数
net = newff( minmax(input) , [10 3] , { 'logsig' 'purelin' } , 'traingdx' ) ;
%设置训练参数
net.trainparam.show = 50 ;
net.trainparam.epochs = 500 ;
net.trainparam.goal = 0.01 ;
net.trainParam.lr = 0.01 ;
%开始训练
net = train( net, input , output') ;
%测试数据归一化
testInput = tramnmx ( XValidation' , minI, maxI ) ;
%仿真
Y = sim( net , testInput );
%统计识别正确率
[s1 , 2] = size( Y ) ;
hitNum = 0 ;
for i = 1 : s2
[m , Index] = max( Y( : , i ) ) ;
if( Index == YValidation(i) )
hitNum = hitNum + 1 ;
end
end
sprintf('识别率是 %3.3f%%',100 * hitNum / s2 )


(5)参数设置对神经网络性能的影响 

 在实验中通过调整隐含层节点数,选择不通过的激活函数,设定不同的学习率,

<1>隐含层节点个数 

  隐含层节点的个数对于识别率的影响并不大,但是节点个数过多会增加运算量,使得训练较慢。

<2>激活函数的选择 

 激活函数无论对于识别率或收敛速度都有显著的影响。在逼近高次曲线时,S形函数精度比线性函数要高得多,但计算量也要大得多。 

<3>学习率的选择 

 学习率影响着网络收敛的速度,以及网络能否收敛。学习率设置偏小可以保证网络收敛,但是收敛较慢。相反,学习率设置偏大则有可能使网络训练不收敛,影响识别效果。




延申思考

1、文中的例子是给出的分类问题,如果是回归问题怎么处理?

Tips:模型皆回归,分类是特例的回归

2、如果模型的test和train数据集正确率相差较大,应该怎么调整参数?

Tips:考虑过/欠拟合解决

3、训练模型的train数据集,为什么要打乱原始数据的排序

有啥疑问、交流评论区见