海明码
基本概念
海明码:能纠正所有单个比特的高效线性分组码。
最大似然译码:接收到的码字,最像某一允许码,就判决为这个码。
码元:码字中的二进制位。
码字:码元的组合。
码长:码字中码元的个数。
码组:所有许用码字构成的码字空间。
码距:两码字间对应位上的码元取值不同的位数。
海明距离(d):码组中的最小码字。决定了码组的纠错能力。
对于3位编码的码距,可用三维空间表示,每个码字对应立方体的各个顶点,码距可用对应两顶点间沿立方体各棱行走的最短几何距离表示。如果仅用“000”和“111”为许用码,则码距为3。
海明距离与纠错能力的关系:
1、当码组用于检错时:设检错个数为e,则:d>=e+1。
说明:码字A和B出现e个错误时,仍没有变成对方,和对方至少有一个码元位不同。
2、当码组用于纠正t重错时:则:d>=2t+1。
说明:码字A和B同时出现t个错误时,仍能看出出错后的码字最像谁(最大似然译码)。
3、当码组用于纠正t重错,同时检测e个错误时,要求(e>t),则:d>=e+t+1。
码字A和B出现e个错误时,仍没有变成对方,且码字A和B同时出现t个错误时,仍能看出出错后的码字最像谁。
海明码纠正单比特差错。
原理:在d位信息位后增加r位冗余位,构成一个n=d+r位的码字,且满足关系:2r>=d+r+1,即用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。将r位冗余位安插在码字的2的幂次方的位置,将码字中信息位的位置用二进制表示,冗余位的值是码字中位置相应位为“1”的信息位的异或。接收方按上述方法进行校验,并降序排列冗余位,值不为“0”则表示对应位置的码元出错。
海明码的编码效率为:R=d/d+r)
式中 d为信息位位数,为增加冗余位位数。
海明码的生成与接收
方法一:(按教科书)
1)海明码的生成。
例1.已知:信息码为:"0010"。海明码的监督关系式为:
S2=a2+a4+a5+a6
S1=a1+a3+a5+a6
S0=a0+a3+a4+a6
求:海明码码字。
解:1)由监督关系式知冗余码为a2a1a0。
2)冗余码与信息码合成的海明码是:"0010a2a1a0"。
设S2=S1=S0=0,由监督关系式得:
a2=a4+a5+a6=1
a1=a3+a5+a6=0
a0=a3+a4+a6=1
因此,海明码码字为:"0010101"
2)海明码的接收。
例2.已知:海明码的监督关系式为:
S2=a2+a4+a5+a6
S1=a1+a3+a5+a6
S0=a0+a3+a4+a6
接收码字为:"0011101"(n=7)
求:发送端的信息码。
解:1)由海明码的监督关系式计算得S2S1S0=011。
2)由监督关系式可构造出下面错码位置关系表:
S2S1S0        000   001   010   100   011   101   110   111
错码位置    无错 a0      a1      a2      a3      a4      a5      a6
3)由S2S1S0=011查表得知错码位置是a3。
4)纠错--对码字的a3位取反得正确码字:"0 0 1 0 1 0 1"
5)把冗余码a2a1a0删除得发送端的信息码:"0010"
***方法二:(不用查表,方便编程)
1)海明码的生成(顺序生成法)。
例3.已知:信息码为:" 1 1 0 0 1 1 0 0 "(d=8)
求:海明码码字。
解:1)把冗余码A、B、C、…,顺序插入信息码中,得海明码
码字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 1  0  0 "
码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  
其中A,B,C,D分别插于2k位(k=0,1,2,3)。码位分别为1,2,4,8。

2)冗余码A,B,C,D的线性码位是:(相当于监督关系式)
A->1,3,5,7,9,11;
B->2,3,6,7,10,11;
C->4,5,6,7,12;(注 5=4+1;6=4+2;7=4+2+1;12=8+4)
D->8,9,10,11,12。
3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值(设冗余码初值为0):
A=∑(0,1,1,0,1,0)=1
B=∑(0,1,0,0,1,0)=0
C=∑(0,1,0,0,0)=1
D=∑(0,1,1,0,0)=0
4)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
2)海明码的接收。
例4.已知:接收的码字为:"1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=8)
求:发送端的信息码。
解:1)设错误累加器(err)初值=0
2)求出冗余码的偶校验和,并按码位累加到err中:
A=∑(1,0,1,0,1,0)=1
B=∑(0,0,0,0,1,0)=1
C=∑(1,1,0,0,0)=0
D=∑(0,1,1,0,0)=0
由err≠0可知接收码字有错,
3)码字的错误位置就是错误累加器(err)的值DCBA=0011:3。
4)纠错--对码字的第3位值取反得正确码字:
"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
5)把位于2k位的冗余码删除得信息码:"1 1 0 0 1 1 0 0"