【面试高频题】难度 2.5/5，多解法经典面试笔试题

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题目描述

这是 LeetCode 上的 786. 第 K 个最小的素数分数 ，难度为 中等。

Tag : 「优先队列（堆）」、「多路归并」、「二分」、「双指针」

给你一个按递增顺序排序的数组 ​​arr​​​ 和一个整数 ​​k​​ 。

数组 ​​arr​​​ 由 $1$ 和若干 素数  组成，且其中所有整数互不相同。

对于每对满足 $0 < i < j < arr.length$ 的 $i$ 和 $j$ ，可以得到分数 $arr[i] / arr[j]$

那么第 $k$ 个最小的分数是多少呢?  以长度为 $2$ 的整数数组返回你的答案, 这里 $answer[0] == arr[i]$ 且 $answer[1] == arr[j]$

示例 1：

输入：arr = [1,2,3,5], k = 3

输出：[2,5]

示例 2：

输入：arr = [1,7], k = 1

输出：[1,7]

提示：

• $2 <= arr.length <= 1000$
• $1 <= arr[i] <= 3 \times 10^4$
• $arr[0] = 1$
• $arr[i]$是一个 素数 ，$i > 0$
• $arr$中的所有数字 互不相同 ，且按严格递增排序
• $1 <= k <= arr.length \times (arr.length - 1) / 2$

优先队列（堆）

数据范围只有 $10^3$，直接扫描所有点对的计算量不超过 $10^6$。

因此我们可以使用「扫描点对」+「优先队列（堆）」的做法，使用二元组 $(arr[i], arr[j])$ 进行存储，构建大小为 $k$

根据「堆内元素多少」和「当前计算值与堆顶元素的大小关系」决定入堆行为：

• 若堆内元素不足$k$
• 若堆内元素已达$k$个，根据「当前计算值$\frac{arr[i]}{arr[j]}$与堆顶元素$\frac{peek[0]}{peek[1]}$的大小关系」进行分情况讨论：

• 如果当前计算值比堆顶元素大，那么当前元素不可能是第$k$
• 如果当前计算值比堆顶元素小，那么堆顶元素不可能是第$k$

代码：

class Solution {
    public int[] kthSmallestPrimeFraction(int[] arr, int k) {
        int n = arr.length;
        PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->Double.compare(b[0]*1.0/b[1],a[0]*1.0/a[1]));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                double t = arr[i] * 1.0 / arr[j];
                if (q.size() < k || q.peek()[0] * 1.0 / q.peek()[1] > t) {
                    if (q.size() == k) q.poll();
                    q.add(new int[]{arr[i], arr[j]});
                }
            }
        }
        return

• 时间复杂度：扫描所有的点对复杂度为$O(n^2)$；将二元组入堆和出堆的复杂度为$O(\log{k})$。整体复杂度为$O(n^2\log{k})$
• 空间复杂度：$O(k)$

多路归并

在解法一中，我们没有利用「数组内元素严格单调递增」的特性。

由于题目规定所有的点对 $(i, j)$ 必须满足 $i < j$，即给定 $arr[j]$ 后，其所能构建的分数个数为 $j$ 个，而这 $j$ 个分数值满足严格单调递增：$\frac{arr[0]}{arr[j]} < \frac{arr[1]}{arr[j]} < \frac{arr[2]}{arr[j]} < ... < \frac{arr[j - 1]}{arr[j]}$。

问题等价于我们从 $n - 1$ 个（下标 $0$ 作为分母的话，不存在任何分数）有序序列中找到第 $k$ 小的数值。这 $n - 1$

• $[\frac{arr[0]}{arr[1]}]$
• $[\frac{arr[0]}{arr[2]}, \frac{arr[1]}{arr[2]}]$
• $[\frac{arr[0]}{arr[3]}, \frac{arr[1]}{arr[3]}, \frac{arr[2]}{arr[3]}]$
• $[\frac{arr[0]}{arr[j]}, \frac{arr[1]}{arr[j]}, \frac{arr[2]}{arr[j]}, ... , \frac{arr[j - 1]}{arr[j]}]$

问题彻底切换为「多路归并」问题，我们使用「优先队列（堆）」来维护多个有序序列的当前头部的最小值即可。

代码：

class Solution {
    public int[] kthSmallestPrimeFraction(int[] arr, int k) {
        int n = arr.length;
        PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->{
            double i1 = arr[a[0]] * 1.0 / arr[a[1]], i2 = arr[b[0]] * 1.0 / arr[b[1]];
            return Double.compare(i1, i2);
        });
        for (int i = 1; i < n; i++) q.add(new int[]{0, i});
        while (k-- > 1) {
            int[] poll = q.poll();
            int i = poll[0], j = poll[1];
            if (i + 1 < j) q.add(new int[]{i + 1, j});
        }
        int[] poll = q.poll();
        return new int[]{arr[poll[0]], arr[poll[1]]};
    }
}

• 时间复杂度：起始将$n - 1$个序列的头部元素放入堆中，复杂度为$O(n\log{n})$；然后重复$k$次操作得到第$k$小的值，复杂度为$O(k\log{n})$。整体复杂度为$O(\max(n, k) \times \log{n})$
• 空间复杂度：$O(n)$

二分 + 双指针

进一步，利用 $arr$ 递增，且每个点对 $(i, j)$ 满足 $i < j$，我们可以确定 $(i, j)$ 对应的分数 $\frac{arr[i]}{arr[j]}$ 必然落在 $[0, 1]$

假设最终答案 $\frac{arr[i]}{arr[j]}$ 为 $x$，那么以 $x$ 为分割点的数轴（该数轴上的点为 $arr$

• 小于等于$x$的值满足：其左边分数值个数小于$k$
• 大于$x$的值不满足：其左边分数值个数小于$k$个（即至少有$k$

而当确定 $arr[j]$ 时，利用 $arr$ 有序，我们可以通过「双指针」快速得知，满足 $\frac{arr[i]}{arr[j]} <= x$ 的分子位置在哪（找到最近一个满足 $\frac{arr[i]}{arr[j]} > x$

另外，我们可以在每次 ​​check​​​ 的同时，记录下相应的 $arr[i]$ 和 $arr[j]$。

代码：

class Solution {
    double eps = 1e-8;
    int[] arr;
    int n, a, b;
    public int[] kthSmallestPrimeFraction(int[] _arr, int k) {
        arr = _arr;
        n = arr.length;
        double l = 0, r = 1;
        while (r - l > eps) {
            double mid = (l + r) / 2;
            if (check(mid) >= k) r = mid;
            else l = mid;
        }
        return new int[]{a, b};
    }
    int check(double{
        int ans = 0;
        for (int i = 0, j = 1; j < n; j++) {
            while (arr[i + 1] * 1.0 / arr[j] <= x) i++;
            if (arr[i] * 1.0 / arr[j] <= x) ans += i + 1;
            if (Math.abs(arr[i] * 1.0 / arr[j] - x) < eps) {
                a = arr[i]; b = arr[j];
            }
        }
        return

• 时间复杂度：二分次数取决于精度，精度为$C = 10^8$，二分复杂度为$O(\log{C})；$​​​check​​​ 的复杂度为$O(n)$。整体复杂度为$O(n\log{C})$
• 空间复杂度：$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.786​​ 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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