注意:本文大多采用义译,确保原文意思不变,但不保证用词和原作完全一致。:sunglasses:

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使用正弦函数为模型添加位置信息

Transformer是只基于自注意力机制的序列到序列架构。因为并行计算能力以及高性能。使得它在NLP领域中大受欢迎。

现在常见的几个深度学习框架都实现了transformer,这让很多学生都能够方便使用到transformer。但是这也存在一个弊端,他会让我们忽略模型的一些细节。

在本文中我,不打算研究它的整体结构,毕竟现在已经有很多优秀的文章介绍其结构了。在本文中我仅对transformer结构的一部分进行探讨,就是位置编码

当我阅读论文原文^[Attention Is All You Need]的时候,我的脑海里浮现出来一些问题,但是不幸的是,原文中没有提供足够的信息解答我的疑惑,所以在本文中,我想尝试将位置编码单拎出来,看看它是如何工作的。

注意:为了理解本文,请确保你在阅读本文之前已经熟悉了Transformer的基本架构。

image.png

什么是位置编码?为什么我们需要位置编码。

对任何语言来说,句子中词汇的顺序和位置都是非常重要的。它们定义了语法,从而定义了句子的实际语义。RNN结构本身就涵盖了单词的顺序,RNN按顺序逐字分析句子,这就直接在处理的时候整合了文本的顺序信息。

但Transformer架构抛弃了循环机制,仅采用多头自注意机制。避免了RNN较大的时间成本。并且从理论上讲,它可以捕捉句子中较长的依赖关系。

由于句子中的单词同时流经Transformer的编码器、解码器堆栈,模型本身对每个单词没有任何位置信息的。因此,仍然需要一种方法将单词的顺序整合到模型中。

想给模型一些位置信息,一个方案是在每个单词中添加一条关于其在句子中位置的信息。我们称之为“信息片段”,即位置编码

第一个可能想到的想法是为每个时间步添加一个$[0,1]$范围内的数字,其中0表示第一个单词,1表示最后一个单词。
这会导致什么问题?
问题之一是你无法计算出在特定范围内有多少个单词。换句话说,时间步长$δ$在不同的句子中含义不一致。

作者意思是句子长度不同时,会导致某段区间内词汇数量不一致。在这里插入图片描述

另一个想法是为每个时间步按一定步长线性分配一个数字。 也就是说,第一个单词是“1”,第二个单词是“2”,依此类推。
这种方法的问题在于,随着句子变长,这些值可能会变得特别大,并且我们的模型可能会遇到比训练时更长的句子,此外,我们的模型可能会忽略某些长度的样本。这会损害模型的泛化。

理想情况下,应满足以下标准:

  • 每个时间部都有唯一的编码。
  • 在不同长度的句子中,两个时间步之间的距离应该一致。
  • 模型不受句子长短的影响,并且编码范围是有界的。(不会随着句子加长数字就无限增大)
  • 必须是确定性的。

提出的方法

作者提出的编码是一种简单但是很精妙的方法,满足上述所有标准。

首先,它不是单独某个数字,它是一个d维向量,其中包含句子中特定位置的信息。其次,这种编码并没有集成到模型本身中,该向量用于为每个单词提供有关其在句子中位置的信息。

也就是说,其修改了模型的输入,添加了单词的顺序信息。

  • $t$ 是句子中某词汇的位置。
  • $\overrightarrow{p_{t}} \in \mathbb{R}^{d}$ 是其encoding。
  • $d$是encoding的维度(其中$d \equiv{ }_{2} 0$ )

$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^{d}$ 是将位置转化成位置向量 $\overrightarrow{p_{t}}$ 的函数,其定义如下:

$$
{\overrightarrow{p{t}}}^{(i)}=f(t)^{(i)}:= \begin{cases}\sin \left(\omega{k} \cdot t\right), & \text { if } i=2 k \ \cos \left(\omega_{k} \cdot t\right), & \text { if } i=2 k+1\end{cases}
$$

其中 $\omega_{k}=\frac{1}{10000^{2 k / d}}$

从函数定义可以推导出,频率沿向量维数递减。因此它在波长上形成了一个从$2 \pi$到$10000 · 2 \pi$的几何级数。

你也可以把$\overrightarrow{p{t}}$ 想象成一个sin和cos交替的向量($d$可以被2整除 ):
$$
\overrightarrow{p
{t}}=\left[\begin{array}{c}
\sin \left(\omega{1} \cdot t\right) \
\cos \left(\omega
{1} \cdot t\right) \
\sin \left(\omega{2} \cdot t\right) \
\cos \left(\omega
{2} \cdot t\right) \
\vdots \
\sin \left(\omega{d / 2} \cdot t\right) \
\cos \left(\omega
{d / 2} \cdot t\right)
\end{array}\right]_{d \times 1}
$$

The intuition

你可能想知道,正余弦组合怎么能代表一个位置/顺序?

其实很简单,假设你想用二进制格式表示一个数字:

image.png

你可以看到不同位置上的数字交替变化。最后一位数字每次都会0、1交替;倒数第二位置上两个交替一次,以此类推。

找规律,第$i$位置上$2^i$个数据交替一次。

但是在浮点数的世界中使用二进制值是对空间的浪费,所以我们可以用正弦函数代替。事实上,正弦函数也能表示出二进制那样的交替。此外随着正弦函数频率的降低,也可以达到上图红色位到橙色位交替频率的变化。

下图使用正弦函数编码,句子长度为50(纵坐标),编码向量维数128(横坐标)。可以看到交替频率从左到右逐渐减慢。

image.png

其他细节

前面我们只提到了位置编码是给句子中的单词添加位置信息的,但具体是怎么实现的呢?

在论文原文中是直接将词嵌入向量和位置编码进行相加,即对于句子$[w_1 \dots w_n]$中的每个词$w_t$, 最终的输入如下:

$$
\psi^{\prime}\left(w{t}\right)=\psi\left(w{t}\right)+\overrightarrow{p_{t}}
$$

  • $\overrightarrow{p_{t}}$ 位置编码
  • $\psi\left(w_{t}\right)$ 词嵌入

为了实现,这个所以我们需要让位置编码的维数和词嵌入向量的维数相等。
$$
d{\text {word embedding }}=d{\text {postional embedding }}
$$

相对位置

正弦位置编码的另一个特点是,可以让模型获取相对位置。以下是原文中的一段话:

We chose this function because we hypothesized it would allow the model to easily learn to attend by relative positions, since for any fixed offset $k$,$PE{pos+k}$ can be represented as a linear function of $PE{pos}$.

但为什么这一说法成立?为了充分理解原因,可以看一下这篇文章^[Linear Relationships in the Transformer’s Positional Encoding](点右上角参考)。不看也可以,我在这里总结了一个简短一点的版本:

对于对应频率$\omega{k}$的每个正余弦对,有一个线性变换$M \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ (独立于$t$ ),使下列等式成立:
$$
M .\left[\begin{array}{l}
\sin \left(\omega
{k} \cdot t\right) \
\cos \left(\omega{k} \cdot t\right)
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\sin \left(\omega
{k} \cdot(t+\phi)\right) \
\cos \left(\omega_{k} \cdot(t+\phi)\right)
\end{array}\right]
$$

证明:

令$M$ 是一个 $2 \times 2$的矩阵,我们想得到$u{1}, v{1}, u{2}$ and $v{2}$ 使下式成立:
$$
\left[\begin{array}{ll}
u{1} & v{1} \
u{2} & v{2}
\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}
\sin \left(\omega{k} \cdot t\right) \
\cos \left(\omega
{k} \cdot t\right)
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\sin \left(\omega{k} \cdot(t+\phi)\right) \
\cos \left(\omega
{k} \cdot(t+\phi)\right)
\end{array}\right]
$$

使用三角函数的定理,我们可以将等式右边展开如下:

$$
\left[\begin{array}{ll}
u{1} & v{1} \
u{2} & v{2}
\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}
\sin \left(\omega{k} . t\right) \
\cos \left(\omega
{k} . t\right)
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\sin \left(\omega{k} . t\right) \cos \left(\omega{k} . \phi\right)+\cos \left(\omega{k} . t\right) \sin \left(\omega{k} . \phi\right) \
\cos \left(\omega{k} . t\right) \cos \left(\omega{k} . \phi\right)-\sin \left(\omega{k} . t\right) \sin \left(\omega{k} . \phi\right)
\end{array}\right]
$$

普通的矩阵乘法运算将其拆开:

$$
\begin{aligned}
&u{1} \sin \left(\omega{k} . t\right)+v{1} \cos \left(\omega{k} . t\right)=\cos \left(\omega{k} . \phi\right) \sin \left(\omega{k} . t\right)+\sin \left(\omega{k} . \phi\right) \cos \left(\omega{k} . t\right) \
&u{2} \sin \left(\omega{k} \cdot t\right)+v{2} \cos \left(\omega{k} . t\right)=-\sin \left(\omega{k} . \phi\right) \sin \left(\omega{k} . t\right)+\cos \left(\omega{k} . \phi\right) \cos \left(\omega{k} . t\right)
\end{aligned}
$$

通过求解上述方程我们可以得到:

$$
\begin{array}{ll}
u{1}=\cos \left(\omega{k} \cdot \phi\right) & v{1}=\sin \left(\omega{k} \cdot \phi\right) \
u{2}=-\sin \left(\omega{k} \cdot \phi\right) & v{2}=\cos \left(\omega{k} \cdot \phi\right)
\end{array}
$$

所以最终的变换矩阵$M$ 是:

$$
M{\phi, k}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \left(\omega
{k} \cdot \phi\right) & \sin \left(\omega{k} \cdot \phi\right) \
-\sin \left(\omega
{k} \cdot \phi\right) & \cos \left(\omega_{k} \cdot \phi\right)
\end{array}\right]
$$

通过上述推到可以看到,最终的转换不依赖于$t$。注意,可以发现矩阵$M$与旋转矩阵非常相似。

旋转矩阵是一个数学概念,这里需要自己查一下相关资料。

类似地,我们可以为其他正余弦对找到$M$,最终我们可以将$\overrightarrow{p{t+\phi}}$表示为任何固定偏移量$\phi$的$\overrightarrow{p{t}}$的线性函数。这一特性使模型很容易学到相对位置信息。

正弦位置编码的另一个特性是相邻时间步之间的距离是对称的,并随时间衰减。

下图是所有时间步位置编码的点乘积可视化:

image.png

FAQ

为什么位置编码是和词嵌入相加而不是将二者拼接起来?

我找不到这个问题相关的理论依据。求和(与拼接相比)保存了模型的参数,现在我们将初始问题改为“在单词中添加位置嵌入有缺点吗?” 。这我会回答,不一定!

首先,如果我们回想一下上边的第一张可视化图,我们会发现位置编码向量的前几个维度用于存储关于位置的信息(注意,虽然我们的示例很小只有128维,但论文中的输入维度是512)。由于Transformer中的嵌入是从头开始训练的,所以设置参数的时候,可能不会把单词的语义存储在前几个维度中,这样就避开了位置编码。

作者意思是,虽然没有进行直接concat,但是进行了隐式concat。位置编码前半段比较有用,所以在编码嵌入向量的时候,将其语义信息往后放。
在这里插入图片描述

因此我认为最终的Transformer可以将单词的语义与其位置信息分开。此外,也没有理由支撑将二者分开拼接有什么好处。也许这样相加为模型提供比较好的特征。

更多相关信息可以看:

  1. Why add positional embedding instead of concatenate? #1591 ^[Why add positional embedding instead of concatenate? #1591]
  2. Discussion:Positional Encoding in Transformer^[ Discussion:Positional Encoding in Transformer]

位置信息层层传递之后不会消失吗?

Transformer里加了残差连接,所以模型输入的信息可以有效地传播到其它层。

为什么同时使用正弦和余弦?

个人认为,只有同时使用正弦和余弦,我们才能将$sine(x+k)$和$cosine(x+k)$表示为$sin(x)$和$cos(x)$的线性变换。好像不能只用正弦或者只用余弦就能达到这种效果。如果你能找到单个正余弦的线性变换,可以在评论区补充。

总结

感谢阅读,希望这篇文章能对你有用。如果有问题欢迎批评指正。
引用格式:

@article{kazemnejad2019:pencoding,
  title   = "Transformer Architecture: The Positional Encoding",
  author  = "Kazemnejad, Amirhossein",
  journal = "kazemnejad.com",
  year    = "2019",
  url     = "https://kazemnejad.com/blog/transformer_architecture_positional_encoding/"
}

原文信息

原文链接:Transformer Architecture: The Positional Encoding

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作者信息:

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References