异或是一种基于二进制的位运算,用符号XOR或者 ^ 表示,其运算法则是对运算符两侧数的每一个二进制位,同值取0,异值取1。它与布尔运算的区别在于,当运算符两侧均为1时,布尔运算的结果为1,异或运算的结果为0。

简单理解就是不进位加法,如1+1=0,,0+0=0,1+0=1。

性质

1、交换律

2、结合律(即(a^b)^c == a^(b^c))

3、对于任何数x,都有x^x=0,x^0=x

4、自反性 A XOR B XOR B = A xor  0 = A

异或运算最常见于多项式除法,不过它最重要的性质还是自反性:A XOR B XOR B = A,即对给定的数A,用同样的运算因子(B)作两次异或运算后仍得到A本身。这是一个神奇的性质,利用这个性质,可以获得许多有趣的应用。 例如,所有的程序教科书都会向初学者指出,要交换两个变量的值,必须要引入一个中间变量。但如果使用异或,就可以节约一个变量的存储空间: 设有A,B两个变量,存储的值分别为a,b,则以下三行表达式将互换他们的值 表达式 (值) :

 A=A XOR B (a XOR b)

 B=B XOR A (b XOR a XOR b = a) 

 A=A XOR B (a XOR b XOR a = b)

 类似地,该运算还可以应用在加密,数据传输,校验等等许多领域。

运用距离:

1-1000放在含有1001个元素的数组中,只有唯一的一个元素值重复,其它均只出现
一次。每个数组元素只能访问一次,设计一个算法,将它找出来;不用辅助存储空
间,能否设计一个算法实现?

解法一、显然已经有人提出了一个比较精彩的解法,将所有数加起来,减去1+2+...+1000的和。
这个算法已经足够完美了,相信出题者的标准答案也就是这个算法,唯一的问题是,如果数列过大,则可能会导致溢出。
解法二、异或就没有这个问题,并且性能更好。
将所有的数全部异或,得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或,得到的结果就是重复数。

但是这个算法虽然很简单,但证明起来并不是一件容易的事情。这与异或运算的几个特性有关系。
首先是异或运算满足交换律、结合律。
所以,1^2^...^n^...^n^...^1000,无论这两个n出现在什么位置,都可以转换成为1^2^...^1000^(n^n)的形式。

其次,对于任何数x,都有x^x=0,x^0=x。
所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000(即序列中除了n的所有数的异或)。

令,1^2^...^1000(序列中不包含n)的结果为T
则1^2^...^1000(序列中包含n)的结果就是T^n。
T^(T^n)=n。
所以,将所有的数全部异或,得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或,得到的结果就是重复数。

当然有人会说,1+2+...+1000的结果有高斯定律可以快速计算,但实际上1^2^...^1000的结果也是有规律的,算法比高斯定律还该简单的多。


google面试题的变形:一个数组存放若干整数,一个数出现奇数次,其余数均出现偶数次,找出这个出现奇数次的数?

解法有很多,但是最好的和上面一样,就是把所有数异或,最后结构就是要找的,原理同上!!

原创:http://longzxr.i.sohu.com/blog/view/190676432.htm