POJ1067取石子游戏:威佐夫博奕(Wythoff Game):有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
 
  这种情况下是颇为复杂的。我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,……,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。
 
  可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k,奇异局势有如下三条性质:
 
  1.任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
 
  由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 .所以性质1.成立。
 
  2.任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
 
  事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。
 
 3.采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。
 
  假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势;如果 a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak);如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b - bj 即可;第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b - aj 即可。
 
  从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。
 
  那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,……,n 方括号表示取整函数)
 
  奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1.618……,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。

附代码:

/*

  Description:
*/
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>

using namespace std;

const double e1 = (1 + sqrt(5.0))/2;
const double e2 = (-1 + sqrt(5.0))/2;

bool Compute(int a, int b)
{
   int k = (int)(a*e2);
   int ak = (int)(k*e1);
   if(a == ak && b == ak+k){
     return false;
   }
   k += 1;
   ak = (int)(k*e1);
   if(a == ak && b == ak+k){
     return false;
   }
   return true;
}
int main()
{
   int a, b;
   while(cin>>a>>b){
     if(a > b)
      swap(a, b);
     if(Compute(a, b))
       cout<<1<<endl;
     else cout<<0<<endl;
   }
   //system("pause");
   return 0;
}