问题描述:
给定一个自然数n,由n 开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下。
(1) n∈set(n);
(2) 在n 的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过最近添加的数的一半;
(3) 按此规则进行处理,直到不能再添加自然数为止。
例如,set(6)={6,16,26,126,36,136}。半数集set(6)中有6 个元素。
注意半数集是多重集。
算法设计:
对于给定的自然数n,计算半数集set(n)中的元素个数

 解题思路
半数集的公式是
       
一 递归过程分析
通过分析所描述问题的特点可知,半数集set(n)中元素个数的求解是个递归的过程。设set(n)中的元素个数为f(n),则显然有递归表达式:
f(n)=1+f(i)i=1,2……n/2
据此,可很容易设计出求f(n)的递归算法如下:
int bsj(int n)      
{     int ans=1
       if(n>1)
              for(int i=1i<=n/2i++)
                     ans+=bsj(i)
       return ans
}
对于此递归过程,是存在有缺陷的,即有很多的重复子问题计算。比如说:当n=4时,f(4)=1+f(1)+f(2),而f(2)=1+f(1),因此,在计算f(2)的时候又要重复计算一次f(1)。更进一步,当n较大时,类似的重复子问题计算将会变得非常多。
二 改进的递归算法
可以对如上的递归算法进行改进,用数组来存储已计算过的子问题结果,就可以避免重复,提高算法效率。改进的递归算法如下:
         int bsj(int n)
           {     int ans=1
                  if(a[n]>0)              //避免重复计算的判断语句(在主函数中将数组a的元素全部初始化为0
                       return a[n]
                  for(int i=1;i<=n/2;i++)
                  ans+=bsj(i)
                  a[n]=ans
                  return ans
         }
#include<iostream>
long a[10001];
using namespace std;
int main()
{
     long bsj(int n);
     int n;
     while(cin>>n)
        {
             memset(a,sizeof(a),0);
             a[1]=1;
             cout<<bsj(n)<<endl;
        }
            return 0;
}
long bsj(int n)
{
     long ans=1;
     if(a[n]>0)
             return a[n];
     for(int i=1;i<=n/2;i++)
             ans+=bsj(i);
    a[n]=ans;
    return ans;
}