谈谈B树

1.前言:

动态查找树主要有:二叉查找树(Binary Search Tree),平衡二叉查找树(Balanced Binary Search Tree),红黑树(Red-Black Tree ),B-tree/B+-tree/ B*-tree (B~Tree)。前三者是典型的二叉查找树结构,其查找的时间复杂度O(log2N)与树的深度相关,那么降低树的深度自然会提高查找效率。

但是咱们有面对这样一个实际问题:就是大规模数据存储中,实现索引查询这样一个实际背景下,树节点存储的元素数量是有限的(如果元素数量非常多的话,查找就退化成节点内部的线性查找了),这样导致二叉查找树结构由于树的深度过大而造成磁盘I/O读写过于频繁,进而导致查询效率低下(为什么会出现这种情况,待会在外部存储器-磁盘中有所解释),那么如何减少树的深度(当然是不能减少查询的数据量),一个基本的想法就是:采用多叉树结构(由于树节点元素数量是有限的,自然该节点的子树数量也就是有限的)。

也 就是说,因为磁盘的操作费时费资源,如果过于频繁的多次查找势必效率低下。那么如何提高效率,即如何避免磁盘过于频繁的多次查找呢?根据磁盘查找存取的次 数往往由树的高度所决定,所以,只要我们通过某种较好的树结构减少树的结构尽量减少树的高度,那么是不是便能有效减少磁盘查找存取的次数呢?那这种有效的 树结构是一种怎样的树呢?

这样我们就提出了一个新的查找树结构——多路查找树。根据平衡二叉树的启发,自然就想到平衡多路查找树结构,也就是这篇文章所要阐述的第一个主题B~tree,即B树结构(后面,我们将看到,B树的各种操作能使B树保持较低的高度,从而达到有效避免磁盘过于频繁的查找存取操作,从而有效提高查找效率)。

B-tree(B-tree树即B树,B即Balanced,平衡的意思)这棵神奇的树是在Rudolf BayerEdward M. McCreight(1970)写的一篇论文《Organization and Maintenance of Large Ordered Indices》中首次提出的(wikipedia中:http://en.wikipedia.org/wiki/B-tree,阐述了B-tree名字来源以及相关的开源地址)。

在开始介绍B~tree之前,先了解下相关的硬件知识,才能很好的了解为什么需要B~tree这种外存数据结构。 

 

2.外存储器磁盘

计算机存储设备一般分为两种内存储器(main memory)和外存储器(external memory) 内存存取速度快,但容量小,价格昂贵,而且不能长期保存数据(在不通电情况下数据会消失)

外存储器—磁盘是一种直接存取的存储设备(DASD)。它是以存取时间变化不大为特征的。可以直接存取任何字符组,且容量大、速度较其它外存设备更快。

2.1磁盘的构造

磁盘是一个扁平的圆盘(与电唱机的唱片类似)。盘面上有许多称为磁道的圆圈,数据就记录在这些磁道上。磁盘可以是单片的,也可以是由若干盘片组成的盘组,每一盘片上有两个面。如下图11.3中所示的6片盘组为例,除去最顶端和最底端的外侧面不存储数据之外,一共有10个面可以用来保存信息。

                           

 

当磁盘驱动器执行读/写功能时。盘片装在一个主轴上,并绕主轴高速旋转,当磁道在读/写头(又叫磁头) 下通过时,就可以进行数据的读 / 写了。

一般磁盘分为固定头盘(磁头固定)和活动头盘。固定头盘的每一个磁道上都有独立的磁头,它是固定不动的,专门负责这一磁道上数据的读/写。

活动头盘 (如上图)的磁头是可移动的。每一个盘面上只有一个磁头(磁头是双向的,因此正反盘面都能读写)。它可以从该面的一个磁道移动到另一个磁道。所有磁头都装在同一个动臂上,因此不同盘面上的所有磁头都是同时移动的(行动整齐划一)。当盘片绕主轴旋转的时候,磁头与旋转的盘片形成一个圆柱体。各个盘面上半径相同的磁道组成了一个圆柱面,我们称为柱面 。因此,柱面的个数也就是盘面上的磁道数。 

2.2磁盘的读/写原理和效率

磁盘上数据必须用一个三维地址唯一标示:柱面号、盘面号、块号(磁道上的盘块)

/写磁盘上某一指定数据需要下面3个步骤:

(1)  首先移动臂根据柱面号使磁头移动到所需要的柱面上,这一过程被称为定位或查找

(2)  如上图11.3中所示的6盘组示意图中,所有磁头都定位到了10个盘面的10条磁道上(磁头都是双向的)。这时根据盘面号来确定指定盘面上的磁道。

(3) 盘面确定以后,盘片开始旋转,将指定块号的磁道段移动至磁头下。

经过上面三个步骤,指定数据的存储位置就被找到。这时就可以开始读/写操作了。

访问某一具体信息,由3部分时间组成:

查找时间(seek time) Ts: 完成上述步骤(1)所需要的时间。这部分时间代价最高,最大可达到0.1s左右。

等待时间(latency time) Tl: 完成上述步骤(3)所需要的时间。由于盘片绕主轴旋转速度很快,一般为7200/(电脑硬盘的性能指标之一, 家用的普通硬盘的转速一般有5400rpm(笔记本)7200rpm几种)因此一般旋转一圈大约0.0083s

传输时间(transmission time) Tt: 数据通过系统总线传送到内存的时间,一般传输一个字节(byte)大概0.02us=2*10^(-8)s

磁盘读取数据是以盘块(block)为基本单位的。位于同一盘块中的所有数据都能被一次性全部读取出来。而磁盘IO代价主要花费在查找时间Ts上。因此我们应该尽量将相关信息存放在同一盘块,同一磁道中。或者至少放在同一柱面或相邻柱面上,以求在读/写信息时尽量减少磁头来回移动的次数,避免过多的查找时间Ts

所以,在大规模数据存储方面,大量数据存储在外存磁盘中,而在外存磁盘中读取/写入块(block)中某数据时,首先需要定位到磁盘中的某块,如何有效地查找磁盘中的数据,需要一种合理高效的外存数据结构,就是下面所要重点阐述的B-tree结构,以及相关的变种结构:B+-tree结构和B*-tree结构。

 

 

3.B- 树 

     3.1什么是B-树

具体讲解之前,有一点,再次强调下:B-树,即为B树。因为B树的原英文名称为B-tree,而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树,其实,这是个非常不好的直译,很容易让人产生误解。如人们可能会以为B-树是一种树,而B树又是一种一种树。而事实上是,B-tree就是指的B树。特此说明。

我 们知道,B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉(下面你会看到,相对于二叉,B树每个内结点有多个分支,即多叉)平衡查找树。与本blog之前介绍的红黑树 很相似,但在降低磁盘I/0操作方面要更好一些。许多数据库系统都一般使用B树或者B树的各种变形结构,如下文即将要介绍的B+树,B*树来存储信息。

 B 树与红黑树最大的不同在于,B树的结点可以有许多子女,从几个到几千个。那为什么又说B树与红黑树很相似呢?因为与红黑树一样,一棵含n个结点的B树的高 度也为O(lgn),但可能比一棵红黑树的高度小许多,应为它的分支因子比较大。所以,B树可以在O(logn)时间内,实现各种如插入 (insert),删除(delete)等动态集合操作。

如 下图所示,即是一棵B树,一棵关键字为英语中辅音字母的B树,现在要从树种查找字母R(包含n[x]个关键字的内结点x,x有n[x]+1]个子女(也就 是说,一个内结点x若含有n[x]个关键字,那么x将含有n[x]+1个子女)。所有的叶结点都处于相同的深度,带阴影的结点为查找字母R时要检查的结 点):

 

相信,从上图你能轻易的看到,一个内结点x若含有n[x]个关键字,那么x将含有n[x]+1个子女。如含有2个关键字D H的内结点有3个子女,而含有3个关键字Q T X的内结点有4个子女。

    B树的定义,从下文中,你将看到,或者是用阶,或者是用度,如下段文字所述:
    Unfortunately, the literature on B-trees is not uniform in its use of terms relating to B-Trees. (Folk & Zoellick 1992, p. 362) Bayer & McCreight (1972), Comer (1979), and others define the order of B-tree as the minimum number of keys in a non-root node. Folk & Zoellick (1992) points out that terminology is ambiguous because the maximum number of keys is not clear. An order 3 B-tree might hold a maximum of 6 keys or a maximum of 7 keys. (Knuth 1998,TAOCP p. 483) avoids the problem by defining the order to be maximum number of children (which is one more than the maximum number of keys).
    from: http://en.wikipedia.org/wiki/Btree#Technical_description

    用阶定义的B树

    B 树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B (注:切勿简单的认为一棵m阶的B树是m叉树,虽然存在四叉树八叉树KD树,及vp/R树/R*树/R+树/X树/M树/线段树/希尔伯特R树/优先R树等空间划分树,但与B树完全不等同)的特性如下

  1. 树中每个结点最多含有m个孩子(m>=2);
  2. 除根结点和叶子结点外,其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子(其中ceil(x)是一个取上限的函数);
  3. 若根结点不是叶子结点,则至少有2个孩子(特殊情况:没有孩子的根结点,即根结点为叶子结点,整棵树只有一个根节点);
  4. 所有叶子结点都出现在同一层,叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点,实际上这些结点不存在,指向这些结点的指针都为null);(读者反馈@冷岳这里有错,叶子节点只是没有孩子和指向孩子的指针,这些节点也存在,也有元素。@JULY:其实,关键是把什么当做叶子结点,因为如红黑树中,每一个NULL指针即当做叶子结点,只是没画出来而已)。
  5. 每个非终端结点中包含有n个关键字信息: (n,P0,K1,P1,K2,P2,......,Kn,Pn)。其中:
           a)   Ki (i=1...n)为关键字,且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。
           b)   Pi为指向子树根的接点,且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki,但都大于K(i-1)。 
           c)   关键字的个数n必须满足: [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。
    如下图所示:


    用度定义的B树

      针对上面的5点,再阐述下:B树中每一个结点能包含的关键字(如之前上面的D HQ T X)数有一个上界和下界。这个下界可以用一个称作B树的最小度数(算法导论中文版上译作度数,最小度数即内节点中节点最小孩子数目)m(m>=2)表示。

  • 每个非根的内结点至多有m个子女,每个非根的结点必须至少含有m-1个关键字,如果树是非空的,则根结点至少包含一个关键字;
  • 每个结点可包含至多2m-1个关键字。所以一个内结点至多可有2m个子女。如果一个结点恰好有2m-1个关键字,我们就说这个结点是满的(而稍后介绍的B*树作为B树的一种常用变形,B*树中要求每个内结点至少为2/3满,而不是像这里的B树所要求的至少半满);
  • 当关键字数m=2(t=2的意思是,mmin=2,m可以>=2)时的B树是最简单的有很多人会因此误认为B树就是二叉查找树,但二叉查找树就是二叉查找树,B树就是B树,B树是一棵含有m(m>=2)个关键字的平衡多路查找树,此时,每个内结点可能因此而含有2个、3个或4个子女,亦即一棵2-3-4树,然而在实际中,通常采用大得多的t值。

    B树中的每个结点根据实际情况可以包含大量的关键字信息和分支(当然是不能超过磁盘块的大小,根据磁盘驱动(disk drives)的不同,一般块的大小在1k~4k左右);这样树的深度降低了,这就意味着查找一个元素只要很少结点从外存磁盘中读入内存,很快访问到要查 找的数据。如果你看完上面关于B树定义的介绍,思维感觉不够清晰,请继续参阅下文第6小节、B树的插入、删除操作 部分

    3.2B树的类型和节点定义

    B树的类型和节点定义如下图所示:

 

 

    3.3文件查找的具体过程(涉及磁盘IO操作)

为了简单,这里用少量数据构造一棵3叉树的形式,实际应用中的B树结点中关键字很多的。上面的图中比如根结点,其中17表示一个磁盘文件的文件名;小红方块表示这个17文件内容在硬盘中的存储位置;p1表示指向17左子树的指针。

其结构可以简单定义为:

typedef struct {

    /*文件数*/

    int  file_num;

    /*文件名(key)*/

    char * file_name[max_file_num];

    /*指向子节点的指针*/

     BTNode * BTptr[max_file_num+1];

     /*文件在硬盘中的存储位置*/

     FILE_HARD_ADDR offset[max_file_num];

}BTNode;

假如每个盘块可以正好存放一个B树的结点(正好存放2个文件名)。那么一个BTNODE结点就代表一个盘块,而子树指针就是存放另外一个盘块的地址。

下面,咱们来模拟下查找文件29的过程:

  1. 根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1,将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 1次】    
  2. 此时内存中有两个文件名17、35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现:17<29<35,因此我们找到指针p2
  3. 根据p2指针,我们定位到磁盘块3,并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 2次】    
  4. 此时内存中有两个文件名26,30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现:26<29<30,因此我们找到指针p2
  5. 根据p2指针,我们定位到磁盘块8,并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 3次】    
  6. 此时内存中有两个文件名28,29。根据算法我们查找到文件名29,并定位了该文件内存的磁盘地址。

分析上面的过程,发现需要3次磁盘IO操作和3次内存查找操作。关于内存中的文件名查找,由于是一个有序表结构,可以利用折半查找提高效率。至于IO操作是影响整个B树查找效率的决定因素。

当然,如果我们使用平衡二叉树的磁盘存储结构来进行查找,磁盘4次,最多5次,而且文件越多,B树比平衡二叉树所用的磁盘IO操作次数将越少,效率也越高

3.4B树的高度

    根据上面的例子我们可以看出,对于辅存做IO读的次数取决于B树的高度。而B树的高度由什么决定的呢?

若 B树某一非叶子节点包含N个关键字,则此非叶子节点含有N+1个孩子结点,而所有的叶子结点都在第I层。因为根至少有两个孩子,因此第2层至少有两个结 点。除根和叶子外,其它结点至少有┌m/2┐个孩子,因此在第3层至少有2*┌m/2┐个结点,在第4层至少有2*(┌m/2┐^2)个结点,在第I层至 少有2*(┌m/2┐^(l-2) )个结点,于是有:   N+1 ≥ 2*┌m/2┐I-2   考虑第L层的结点个数为N+1,那么2*(┌m/2┐^(l-2))≤N+1,也就是L层的最少结点数刚好达到N+1个   即: I≤ log┌m/2┐((N+1)/2 )+2   所以,当B树包含N个关键关键字时,B树的最大高度为l-1(因为计算B树高度时,叶结点所在层不计算在内)   即:log┌m/2┐((N+1)/2 )+1。   这个B树的高度公式从侧面显示了B树的查找效率是相当高的
有读者反馈,说上面的B树的高度计算公式与算法导论一书上的不同,而后我特意翻看了算法导论第18章关于B树的高度一节的内容,如下图所示:
在 上图中书上所举的例子中,也许,根据我们大多数人的理解,它的高度应该是4,而书上却说的是“一棵高度为3的B树”。我想,此时,你也就明白了,算法导论 一书上的高度的定义是从“0”开始计数的,而我们中国人的习惯是树的高度是从“1”开始计数的。特此说明。July、二零一二年九月二十七日。

4.B+-tree

B+-tree:是应文件系统所需而产生的一种B-tree的变形树。

一棵m阶的B+树和m阶的B树的异同点在于:

      1.n棵子树的结点中含有n-1 个关键字; (与B 树n棵子树有n-1个关键字 保持一致,参照:http://en.wikipedia.org/wiki/B%2B_tree#Overview)

      2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息,及指向含有这些关键字记录的指针,且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)

      3.所有的非终端结点可以看成是索引部分,结点中仅含有其子树根结点中最大(或最小)关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

 

 

a)     为什么说B+-treeB 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引?

1) B+-tree的磁盘读写代价更低

B+-tree的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中,那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。

    举个例子,假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes,而一个关键字2bytes,一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。而B+ 树内部结点只需要1个盘快。当需要把内部结点读入内存中的时候,B 树就比B+ 树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)

2) B+-tree的查询效率更加稳定

由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点,而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同,导致每一个数据的查询效率相当。

读者点评
本 文评论下第149楼,fanyy1991针对上文所说的两点,道:个人觉得这两个原因都不是主要原因。数据库索引采用B+树的主要原因是 B树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。正是为了解决这个问题,B+树应运而生。B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的 遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的,而B树不支持这样的操作(或者说效率太低)。

b)    B+-tree的应用: VSAM(虚拟存储存取法)文件(来源论文 the ubiquitous Btree 作者:D COMER - 1979 )

 

 

5.B*-tree

B*-treeB+-tree的变体,在B+树的基础上(所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息,及指向含有这些关键字记录的指针),B*树中非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针;B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M,即块的最低使用率为2/3(代替B+树的1/2)。给出了一个简单实例,如下图所示:

 

B+树的分裂:当一个结点满时,分配一个新的结点,并将原结点中1/2的数据复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针;B+树的分裂只影响原结点和父结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针。

B*树的分裂:当一个结点满时,如果它的下一个兄弟结点未满,那么将一部分数据移到兄弟结点中,再在原结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟也满了,则在原结点与兄弟结点之间增加新结点,并各复制1/3的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针。

所以,B*树分配新结点的概率比B+树要低,空间使用率更高;

 

原文链接:http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6530142

备注:上面作者介绍的关于数据库中的B树 个人感觉还是可以的,通俗易通搭配着图形的介绍,呵呵你也试试吧(建议有点数据结构的基础知识再看本文)