卡特兰数:规定h(0)=1,而h(1)=1,h(2)=2,h(3)=5,h(4)=14,h(5)=42,h(6)=132,h(7)=429,h(8)=1430,h(9)=4862,h(10)=16796,h(11)=58786,h(12)=208012,h(13)=742900,h(14)=2674440,h(15)=9694845·····················

通项公式为:

 

        递推公式为:

 h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1)

h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

       卡特兰数的应用:

1、矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?

思路:可以这样考虑,首先通过括号化,将P分成两个部分,然后分别对两个部分进行括号化。比如分成(a1)×(a2×a3.....×an),然后再对(a1)和(a2×a3.....×an)分别括号化;又如分成(a1×a2)×(a3.....×an),然后再对(a1×a2)和(a3.....×an)括号化。

       设n个矩阵的括号化方案的种数为f(n),那么问题的解为

        f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。f(1)*f(n-1)表示分成(a1)×(a2×a3.....×an)两部分,然后分别括号化。

       计算开始几项,f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5。结合递归式,不难发现f(n)等于h(n-1)。

2、一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?

      思路:这个与加括号的很相似,进栈操作相当于是左括号,而出栈操作相当于右括号。n个数的进栈次序和出栈次序构成了一个含2n个数字的序列。第0个数字肯定是进栈的数,这个数相应的出栈的数一定是第2i+1个数。因为如果是2i,那么中间包含了奇数个数,这奇数个肯定无法构成进栈出栈序列。

       设问题的解为f(2n), 那么f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n-4) + f(2n-2)*f(0)。f(0) * f(2n-2)表示第0个数字进栈后立即出栈,此时这个数字的进栈与出栈间包含的数字个数为0,剩余为2n-2个数。f(2)*f(2n-4)表示第0个数字进栈与出栈间包含了2个数字,相当于1 2 2 1,剩余为2n-4个数字。依次类推。

       假设f(0) = 1,计算一下开始几项,f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。结合递归式,不难发现f(2n) 等于h(n)

 

 

3、n个节点构成的二叉树,共有多少种情形?

       思路:可以这样考虑,根肯定会占用一个结点,那么剩余的n-1个结点可以有如下的分配方式,T(0, n-1),T(1, n-2),...T(n-1, 0),设T(i, j)表示根的左子树含i个结点,右子树含j个结点。

       设问题的解为f(n),那么f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)。假设f(0) = 1,那么f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5。结合递推式,不难发现f(n)等于h(n)

 

4、n对括号有多少种匹配方式?

       思路:n对括号相当于有2n个符号,n个左括号、n个右括号,可以设问题的解为f(2n)。第0个符号肯定为左括号,与之匹配的右括号必须为第2i+1字符。因为如果是第2i个字符,那么第0个字符与第2i个字符间包含奇数个字符,而奇数个字符是无法构成匹配的。

       通过简单分析,f(2n)可以转化如下的递推式 f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n - 4) + ... + f(2n - 4)*f(2) + f(2n-2)*f(0)。简单解释一下,f(0) * f(2n-2)表示第0个字符与第1个字符匹配,同时剩余字符分成两个部分,一部分为0个字符,另一部分为2n-2个字符,然后对这两部分求解。 f(2)*f(2n-4)表示第0个字符与第3个字符匹配,同时剩余字符分成两个部分,一部分为2个字符,另一部分为2n-4个字符。依次类推。

       假设f(0) = 1,计算一下开始几项,f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。结合递归式,不难发现f(2n) 等于h(n)

5、在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

       思路:以其中一个点为基点,编号为0,然后按顺时针方向将其他点依次编号。那么与编号为0相连点的编号一定是奇数,否则,这两个编号间含有奇数个点,势必会有个点被孤立,即在一条线段的两侧分别有一个孤立点,从而导致两线段相交。设选中的基点为A,与它连接的点为B,那么A和B将所有点分成两个部分,一部分位于A、B的左边,另一部分位于A、B的右边。然后分别对这两部分求解即可。

       设问题的解f(n),那么f(n) = f(0)*f(n-2) + f(2)*f(n-4) + f(4)*f(n-6) + ......f(n-4)*f(2) + f(n-2)*f(0)。f(0)*f(n-2)表示编号0的点与编号1的点相连,此时位于它们右边的点的个数为0,而位于它们左边的点为2n-2。依次类推。

       f(0) = 1, f(2) = 1, f(4) = 2。结合递归式,不难发现f(2n) 等于h(n)

6、求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数?

      思路:以凸多边形的一边为基,设这条边的2个顶点为A和B。从剩余顶点中选1个,可以将凸多边形分成三个部分,中间是一个三角形,左右两边分别是两个凸多边形,然后求解左右两个凸多边形。

      设问题的解f(n),其中n表示顶点数,那么f(n) = f(2)*f(n-1) + f(3)*f(n-2) + ......f(n-2)*f(3) + f(n-1)*f(2)。f(2)*f(n-1)表示三个相邻的顶点构成一个三角形,那么另外两个部分的顶点数分别为2和n-1。

      设f(2) = 1,那么f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 5。结合递推式,不难发现f(n) 等于h(n-2)

7、描述:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?

     思路:可以将持5元买票视为进栈,那么持10元买票视为5元的出栈。这个问题就转化成了栈的出栈次序数。由应用三的分析直接得到结果,f(2n) 等于h(n)*n!*n!

8、拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量为h(n).例如 4个叶子节点的所有二叉树形态:

 

9、n*n的方格地图中,从一个角到另外一个角,不跨越对角线的路径数为h(n).例如, 4×4方格地图中的路径有:

10、圆桌周围有 2n个人,他们两两握手,但没有交叉的方案数为h(n) 

11、说16个人按顺序去买烧饼,其中8个人每人身上只有一张5块钱,另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个,开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气,每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。h(8)=1430,所以总数=1430*8!*8!

12、在图书馆一共6个人在排队,3个还《面试宝典》一书,3个在借《面试宝典》一书,图书馆此时没有了面试宝典了,求他们排队的总数?

h(3)=5;所以总数为5*3!*3!=180.

 

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

 

部分内容转自

http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6764858

http://blog.csdn.net/jtlyuan/article/details/7440591