题目:n个数字(0,1,…,n-1)形成一个圆圈,从数字0开始,每次从这个圆圈中删除第m个数字(第一个为当前数字本身,第二个为当前数字的下一个数字)。当一个数字删除后,从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

题意理解:最开始时,0报数1,则如果m小于n,第m个数字实际上是m-1,删除掉一个数字以后,被删除的数字的下一个数字报数1,例如n=10,m=3,被删除的数字依次是2,5,8,1,6,0,7,4,9,3

思路1:既然题目有一个数字圆圈,很自然的想法是我们用一个数据结构来模拟这个圆圈。在常用的数据结构中,我们很容易想到用环形列表。我们可以创建一个总共有m个数字的环形列表,然后每次从这个列表中删除第m个元素。用STL中std::list来模拟这个环形列表。由于list并不是一个环形的结构,因此每次跌代器扫描到列表末尾的时候,要记得把跌代器移到列表的头部。这样就是按照一个圆圈的顺序来遍历这个列表了。这种思路需要一个有n个结点的环形列表来模拟这个删除的过程,因此内存开销为O(n)。而且这种方法每删除一个数字需要m步运算,总共有n个数字,因此总的时间复杂度是O(mn)。

思路2:首先定义最初的n个数字(0,1,…,n-1)中最后剩下的数字是关于n和m的方程为f(n,m)。在这n个数字中,第一个被删除的数字是(m-1)%n,为简单起见记为k。那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1,并且下一个开始计数的数字是k+1。相当于在剩下的序列中,k+1排到最前面,从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样(最初的序列是从0开始的连续序列),因此该函数不同于前面函数,记为f’(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是剩下序列的最后剩下数字f’(n-1,m),所以f(n,m)=f’(n-1,m)。接下来我们把剩下的的这n-1个数字的序列k+1,…,n-1,0,…k-1作一个映射,映射的结果是形成一个从0到n-2的序列:
k+1 -> 0

k+2 -> 1

n-1 -> n-k-2

0 -> n-k-1

k-1 -> n-2
把映射定义为p,则p(x)= (x-k-1)%n,即如果映射前的数字是x,则映射后的数字是(x-k-1)%n。对应的逆映射是p-1(x)=(x+k+1)%n。
由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式,都是从0开始的连续序列,因此仍然可以用函数f来表示,记为f(n-1,m)。根据我们的映射规则,映射之前的序列最后剩下的数字f’(n-1,m)= p-1 [f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。把k=(m-1)%n代入得到f(n,m)=f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。
经过上面复杂的分析,我们终于找到一个递归的公式。要得到n个数字的序列的最后剩下的数字,只需要得到n-1个数字的序列的最后剩下的数字,并可以依此类推。当n=1时,也就是序列中开始只有一个数字0,那么很显然最后剩下的数字就是0。我们把这种关系表示为:
f(n,m)=0 ,n=1

 f(n,m)=[f(n-1,m)+m]%n ,n>1
尽管得到这个公式的分析过程非常复杂,但它用递归或者循环都很容易实现。最重要的是,这是一种时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)的方法,因此无论在时间上还是空间上都优于前面的思路。

 

  1. #include<stdio.h>  
  2. #include <iostream>  
  3. #include<list>  
  4. using namespace std;   
  5.    
  6. int LastRemaining1(unsigned int n,unsigned int m)  
  7. {  
  8.     list<int> circle;  
  9.     for(int i=0;i<n;i++)  
  10.         circle.push_back(i);  
  11.     list<int>::iterator iter=circle.begin();  
  12.     while(circle.size()>1)  
  13.     {  
  14.           
  15.         for(i=1;i<m;i++)  
  16.         {  
  17.             iter++;  
  18.             if(iter==circle.end())  
  19.                 iter=circle.begin();  
  20.         }  
  21.         list<int>::iterator next=++iter;  
  22.         if(next==circle.end())  
  23.                 next=circle.begin();  
  24.         iter--;  
  25.         cout<<*(iter)<<endl;  
  26.         circle.erase(iter);  
  27.         iter=next;  
  28.     }  
  29.     return *iter;  
  30. }  
  31.  
  32. int LastRemaining2(int n,int m)  
  33. {  
  34.     if(n<=0||m<0)  
  35.         return 0;  
  36.     int last=0;  
  37.     for(int i=2;i<=n;i++)  
  38.         last=(last+m)%i;  
  39.     return last;  
  40. }  
  41. void main()  
  42. {  
  43. int a=LastRemaining1(10,3);  
  44. int b=LastRemaining2(10,3);  
  45. cout<<a<<"  "<<b<<endl;  
  46.