相信很多人(包括自己)初识KMP算法的时候始终是丈二和尚摸不着头脑,要么完全不知所云,要么看不懂书上的解释,要么自己觉得好像心里了解KMP算法的意思,却说不出个究竟,所谓知其然不知其所以然是也。
     经过七八个小时地仔细研究,终于感觉自己能说出其所以然了,又觉得数据结构书上写得过于简洁,不易于初学者接受,于是决定把自己的理解拿出来与大家分享,希望能抛砖引玉,这便是Bill写这篇文章想要得到的最好结果了
-----------------------------------谨以此文,献给刚接触KMP算法的朋友,定有不足之处,望大家指正----------------------------------------
 
 
 
【KMP算法简介】
 
         KMP算法是一种改进后的字符串匹配算法,由D.E.Knuth与V.R.Pratt和J.H.Morris同时发现,因此人们称它为克努特——莫里斯——普拉特操作(简称KMP算法)。通过一个辅助函数实现跳过扫描不必要的目标串字符,以达到优化效果。
 
 
 
【传统字符串匹配算法的缺憾】
 
         Bill认为,对于一种优化的算法,既要知道优化的细节,也更应该了解它的前身(至于KMP是否基于传统算法,我不清楚,这里只作语境上的前身),了解是什么原因导致了人们要去优化它,因此加入了这一段:
请看以下传统字符串匹配的代码:
C++ code

 
void NativeStrMatching( ElemType Target[], ElemType Pattern[] )            
{            
        register int TarLen = 0;        // Length of Target            
        register int PatLen = 0;        // Length of Pattern            
        
        // Compute the length of Pattern            
        while( '\0' != Pattern[PatLen] )            
                PatLen++;            
        
        while( '\0' != Target[TarLen] )            
        {            
                int TmpTarLen = TarLen;            
                for(int i=0; i<PatLen; i++)            
                {            
                        if( Target[TmpTarLen++] != Pattern[i] )            
                                break;            
                        if( i == PatLen-1 )            
                                cout<<"Native String Matching,pattern occurs with shift "<<TarLen<<endl;            
                }            
                TarLen++;            
        }            
}    

 
【代码思想】
     传统匹配思想是,从目标串Target的第一个字符开始扫描,逐一与模式串的对应字符进行匹配,若该组字符匹配,则检测下一组字符,如遇失配,则退回到Target的第二个字符,重复上述步骤,直到整个Pattern在Target中找到匹配,或者已经扫描完整个目标串也没能够完成匹配为止。
     这样的算法理解起来很简单,实现起来也容易,但是其中包含了过多不必要的操作,也就是在目标串中,有些字符是可以直接跳过,不必检测的。
不妨假设我们的目标串
Target =  "a b c d e a b c d e a b c d f"
需要匹配的模式串
Pattern = "c d f";
那么当匹配到如下情况时
 
       

 
 
 
由于 'e' != 'f' ,因此失配,那么下次匹配起始位置就是目标串的'd'字符
     

 
 
 
 
 
我们发现这里照样失配,直到运行到下述情况
 

 
 
 
 
 
 
也就是说,中间的四个字符 d e a b 完全没有必要检测,直接跳转到下一个'c'开始的地方进行检测  
    
     由此可见传统算法虽然简单易行,但其中包含了过多的不必要操作,并不能很好地达到实际工作中需要的效率,因此个人认为此方法适合为初识字符串匹配做一个铺垫作用,有抛砖引玉之意。
     说其抛砖引玉并不为过,对KMP算法的理解便可以基于传统模式串匹配算法进行思考。
 
 
 
【KMP算法的引入】
 
     既然知道了传统算法的不足之处,就要对症下药,优化这个冗余的检测算法。
     KMP算法就能很好地解决这个冗余问题。
     其主要思想为:
          在失配后,并不简单地从目标串下一个字符开始新一轮的检测,而是依据在检测之前得到的有用信息(稍后详述),直接跳过不必要的检测,从而达到一个较高的检测效率。
     如我们的
 
 
        当第一次失配后,并不从红色标记字符'd'开始检测,而是通过一些有用信息,直接跳过后几个肯定不可能匹配的冗余字符,而直接让模式串Pattern从目标串的红色标记字符'c'开始新一轮的检测,从而达到了减少循环次数的效果
 
 
 
【KMP算法思想详述与实现】
 
        前面提到,KMP算法通过一个“有用信息”可以知道目标串中下一个字符是否有必要被检测,这个“有用信息”就是用所谓的“前缀函数(一般数据结构书中的next函数)”来存储的。
        这个函数能够反映出现失配情况时,系统应该跳过多少无用字符(也即模式串应该向右滑动多长距离)而进行下一次检测,在上例中,这个距离为4.
        总的来讲,KMP算法有2个难点:
              一是这个前缀函数的求法。
              二是在得到前缀函数之后,怎么运用这个函数所反映的有效信息避免不必要的检测。
下面分为两个板块分别详述:
 
 
【前缀函数的引入及实现】
 
【前缀函数的引入】
        对于前缀函数,先要理解前缀是什么:
        简单地说,如字符串A = "abcde"        B = "ab"
        那么就称字符串B为A的前缀,记为B ⊏ A(注意那不是"包含于",Bill把它读作B前缀于A),说句题外话——"⊏"这个符号很形象嘛,封了口的这面相当于头,在头前面的就是前缀了。
        同理可知 C = "e","de" 等都是 A 的后缀,以为C ⊐ A(Bill把它读作C后缀于A)
      
理解了什么是前、后缀,就来看看什么是前缀函数:
        在这里不打算引用过多的理论来说明,直接引入实例会比较容易理解,看如下示例:
 
      (下述字符若带下标,则对应于图中画圈字符)
      这里模式串 P = “ababaca”,在匹配了 q=5 个字符后失配,因此,下一步就是要考虑将P向右移多少位进行新的一轮匹配检测。传统模式中,直接将P右移1位,也就是将P的首字符'a'去和目标串的'b'字符进行检测,这明显是多余的。通过我们肉眼的观察,可以很简单的知道应该将模式串P右移到下图'a3'处再开始新一轮的检测,直接跳过肯定不匹配的字符'b',那么我们“肉眼”观察的这一结果怎么把它用语言表示出来呢?
 

     我们的观察过程是这样的:
          P的前缀"ab"中'a' != 'b',又因该前缀已经匹配了T中对应的"ab",因此,该前缀的字符'a1'肯定不会和T中对应的字串"ab"中的'b'匹配,也就是将P向右滑动一个位移是无意义的。
          接下来考察P的前缀"aba",发现该前缀自身的前缀'a1'与自身后缀'a2'相等,"a1 b a2" 已经匹配了T中的"a b a3",因此有 'a2' == 'a3', 故得到 'a1' == 'a3'......
          利用此思想,可推知在已经匹配 q=5 个字符的情况下,将P向右移 当且仅当 2个位移时,才能满足既没有冗余(如把'a'去和'b'比较),又不会丢失(如把'a1' 直接与 'a4' 开始比较,则丢失了与'a3'的比较)。
          而前缀函数就是这样一种函数,它决定了q与位移的一一对应关系,通过它就可以间接地求得位移s。
   
     通过对各种模式串进行上述分析(大家可以自己多写几个模式串出来自己分析理解),发现给定一个匹配字符数 q ,则唯一对应一个有效位移,如上述q=5,则对应位移为2.
     这就形成了一一对应关系,而这种唯一的关系就是由前缀函数决定的。
     这到底是怎样的一种关系呢?
     通过对诸多模式串实例的研究,我们会找到一个规律(规律的证明及引理详见《算法导论(第二版)》)。
     上例中,P 已经匹配的字符串为"ababa",那么这个字符串中,满足既是自身真后缀(即不等于自身的后缀),又是自身最长前缀的字符串为"aba",我们设这个特殊字串的长度为L,显然,L = 3. 故我们要求的 s = q - L = 5 - 3 = 2 ,满足前述分析。
   
     根据这个规律,即可得到我们要求的有效位移s,等于已经匹配的字符数 q 减去长度 L。
     即 s = q - L
     因为这个长度 L 与 q 一一对应,决定于q,因此用一函数来表达这一关系非常恰当,这就是所谓的前缀函数了。
     因为已经分析得到该关系为一一对应关系,因此用数组来表示该函数是比较恰当的,以数组的下标表示已经匹配的字符数 q,以下标对应的数据存储 L。
 
【前缀函数的实现】
   
下面就来分析怎么用代码来表达这种关系。
这里采用《算法导论(第二版)》中的思想求解。
不妨以 PrefixFunc[] 表示这个前缀函数,那么我们将得到以下求前缀函数的函数:
由于 0 个匹配字符数在计算中没有意义,因此PrefixFunc下标从1开始,也就是从已经有一个字符(即首字符)匹配的情况开始
C++ code
 
// Compute Prefix function            
void CptPfFunc( ElemType Pattern[], int PrefixFunc[] )                
{      
        register int iLen = 0;    // Length of Pattern[]            
        while( '\0' != Pattern[iLen] )            
                iLen++;            
                    
        int LOLP = 0;     // Lenth of longest prefix            
        PrefixFunc[1] = 0;            
        
        for( int NOCM=2; NOCM<iLen+1; NOCM++ )     // NOCM represent the number of characters matched            
        {            
                while( LOLP>0 && (Pattern[LOLP] != Pattern[NOCM-1]) )            
                        LOLP = PrefixFunc[LOLP];            
                if( Pattern[LOLP] == Pattern[NOCM-1] )            
                        LOLP++;            
                PrefixFunc[NOCM] = LOLP;            
        }            
}            
    

 

    
 对此函数的详解,不妨以一实例带入(建议大家自己手算一下,算完应该就有感觉了),易于理解:
                            
 不妨设模式串Pattern = "a  b  c  c  a  b  c  c  a  b  c  a"
      Pattern 数组编号: 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
NOCM 表示 已经匹配的字符数
LOLP 表示 既是自身真后缀又是自身最长前缀的字符串长度
以下是计算流程:
PrefixFunc[1] = 0; //只匹配一个字符就失配时,显然该值为零
LOLP = 0;   NOCM = 2;   LOLP = 0;    PrefixFunc[2] = 0;
LOLP = 0;   NOCM = 3;   LOLP = 0;    PrefixFunc[3] = 0;
LOLP = 0;   NOCM = 4;   LOLP = 0;    PrefixFunc[4] = 0;
LOLP = 0;   NOCM = 5;   LOLP = 1;    PrefixFunc[5] = 1;
LOLP = 1;   NOCM = 6;   LOLP = 2;    PrefixFunc[6] = 2;
LOLP = 2;   NOCM = 7;   LOLP = 3;    PrefixFunc[7] = 3;
LOLP = 3;   NOCM = 8;   LOLP = 4;    PrefixFunc[8] = 4;
LOLP = 4;   NOCM = 9;   LOLP = 5;    PrefixFunc[9] = 5;
LOLP = 5;   NOCM = 10; LOLP = 6;    PrefixFunc[10] = 6;
LOLP = 6;   NOCM = 11; LOLP = 7;    PrefixFunc[11] = 7;
LOLP = 7;   NOCM = 12;

---------此时满足条件while( LOLP>0 && (Pattern[LOLP] != Pattern[NOCM-1]) )-------------

while语句中的执行
{
           LOLP = 7;   NOCM = 12;  LOLP = PrefixFunc[7] = 3;
           LOLP = 3;   NOCM = 12;  LOLP = PrefixFunc[3] = 0;
}

LOLP = 0;   NOCM = 12; LOLP = 1;    PrefixFunc[12] = 1;
最后我们的前缀函数 PrefixFunc[] = { 0,0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,1 }
其间最精妙的要属失配时的操作
while( LOLP>0 && (Pattern[LOLP] != Pattern[NOCM-1]) )
              LOLP = PrefixFunc[LOLP];
其中 LOLP = PrefixFunc[LOLP];  递归调用PrefixFunc函数,直到整个P字串都再无最长前缀或者找到一个之前的满足条件的最长前缀。
 
 
 
 
 【应用前缀函数优化传统匹配算法——KMP算法实现】

由以上分析,不难推导KMP算法的实现
C++ code
void KMPstrMatching( ElemType Target[], ElemType Pattern[] )            
{            
        int PrefixFunc[MAX_SIZE];            
        register int TarLen = 0;            
        register int PatLen = 0;            
        
        // Compute the length of array Target and Pattern            
        while( '\0' != Target[TarLen] )            
                TarLen++;            
        
        while( '\0' != Pattern[PatLen] )            
                PatLen++;            
                    
        // Compute the prefix function of Pattern            
        CptPfFunc( Pattern, PrefixFunc );            
        
        int NOCM = 0;     // Number of characters matched            
        
        for( int i=0; i<TarLen; i++ )            
        {            
                while( NOCM>0 && Pattern[NOCM] != Target[i] )            
                        NOCM = PrefixFunc[NOCM];            
                if( Pattern[NOCM] == Target[i] )            
                        NOCM++;            
                if( NOCM == PatLen )            
                {            
                        cout<<"KMP String Matching,pattern occurs with shift "<<i - PatLen + 1<<endl;            
                        NOCM = PrefixFunc[NOCM];            
                }            
        }            
}        
 
/*
** 由于时间关系,没能将上述KMP算法的实现细节一一讲清,以后有时间补上
*/
【参考文献】
《Introduction to Algorithms》Second Edition
 
by Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest and Clifford .