对称加密中,加密和解密使用相同的密钥,因此必须向解密者配送密钥,即密钥配送问题。而非对称加密中,由于加密和解密分别使用公钥和私钥,而公钥是公开的,因此可以规避密钥配送问题。非对称加密算法,也称公钥加密算法。
 
  1977年,Ron Rivest、Adi Shamir、Leonard Adleman三人在美国公布了一种公钥加密算法,即RSA公钥加密算法。RSA是目前最有影响力和最常用的公钥加密算法,可以说是公钥加密算法的事实标准。
 

RSA加密原理

 
  使用M和C分别表示明文和密文,则RSA加密、解密过程如下:
 
RSA加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现
 
  其中e、n的组合(e, n)即为公钥,d、n的组合(d, n)即为私钥。当然e、d、n并非任意取值,需要符合一定条件,如下即为e、d、n的求解过程。
 

生成密钥对

 
  e、d、n的求解过程,也即生成密钥对的过程。涉及如下步骤:
  1、取两个大质数(也称素数)p、q,n = pq。
  2、取正整数e、d,使得ed mod (p-1)(q-1) = 1,也即:ed ≡ 1 mod (p-1)(q-1)。
  e和d是模(p-1)(q-1)的乘法逆元,仅当e与(p-1)(q-1)互质时,存在d。
 
  举例验证:
  1、取p、q分别为13、17,n = pq = 221。
  2、而(p-1)(q-1) = 12x16 = 192,取e、d分别为13、133,有13x133 mod 192 = 1
  取明文M = 60,公钥加密、私钥解密,加密和解密过程分别如下:
 
RSA加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现
 

RSA加密原理证明过程

 
RSA加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现
 

手动求解密钥对中的d

 
  ed mod (p-1)(q-1) = 1,已知e和(p-1)(q-1)求d,即求e对模(p-1)(q-1)的乘法逆元。
  如上面例子中,p、q为13、17,(p-1)(q-1)=192,取e=13,求13d mod 192 = 1中的d。
 
  13d ≡ 1 (mod 192),在右侧添加192的倍数,使计算结果可以被13整除。
  13d ≡ 1 + 192x9 ≡ 13x133 (mod 192),因此d = 133
 
  其他计算方法有:费马小定律、扩展欧几里得算法、欧拉定理。
 

RSA安全性

 
  由于公钥公开,即e、n公开。
  因此破解RSA私钥,即为已知e、n情况下求d。
  因ed mod (p-1)(q-1) = 1,且n=pq,因此该问题演变为:对n质因数分解求p、q。
 
  目前已被证明,已知e、n求d和对n质因数分解求p、q两者是等价的。实际中n长度为2048位以上,而当n>200位时分解n是非常困难的,因此RSA算法目前仍被认为是安全实用的。
 

RSA计时***和防范

 
  RSA解密的本质是模幂运算,即:
 
RSA加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现
 
  其中C为密文,(d,n)为私钥,均为超过1024位的大数运算,直接计算并不可行,因此最经典的算法为蒙哥马利算法。而这种计算是比较是耗时的,因此***者可以观察不同的输入对应的解密时间,通过分析推断私钥,称为计时***。而防范RSA计时***的办法,即在解密时加入随机因素,使得***者无法准确获取解密时间。
 
  具体实现步骤如下:
 
RSA加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现
 

go标准库中的RSA加解密实现

 
  go标准库中解密即实现了对计时***的防范,代码如下:
 

//加密
//m为明文
//(pub.E, pub.N)为公钥
//c为密文
func encrypt(c *big.Int, pub *PublicKey, m *big.Int) *big.Int {
    e := big.NewInt(int64(pub.E))
    c.Exp(m, e, pub.N)
    return c
}

//解密
//传入random支持防范计时***
func decrypt(random io.Reader, priv *PrivateKey, c *big.Int) (m *big.Int, err error) {
    if c.Cmp(priv.N) > 0 {
        err = ErrDecryption
        return
    }
    if priv.N.Sign() == 0 {
        return nil, ErrDecryption
    }

    var ir *big.Int
    if random != nil {
        var r *big.Int

        for {
            //步骤1产生0至n-1之间随机数r
            r, err = rand.Int(random, priv.N)
            if err != nil {
                return
            }
            if r.Cmp(bigZero) == 0 {
                r = bigOne
            }
            var ok bool
            //r的模n的乘法逆元ir,步骤4中使用
            ir, ok = modInverse(r, priv.N)
            if ok {
                break
            }
        }
        bigE := big.NewInt(int64(priv.E))
        //计算步骤2中C'
        rpowe := new(big.Int).Exp(r, bigE, priv.N) // N != 0
        cCopy := new(big.Int).Set(c)
        cCopy.Mul(cCopy, rpowe)
        cCopy.Mod(cCopy, priv.N)
        c = cCopy
    }

    if priv.Precomputed.Dp == nil {
        //步骤3,使用C'计算对应的M'
        m = new(big.Int).Exp(c, priv.D, priv.N)
    } else {
        //略
    }

    if ir != nil {
        //步骤4计算实际的M
        m.Mul(m, ir)
        m.Mod(m, priv.N)
    }

    return
}
//代码位置src/crypto/rsa/rsa.go

RSA签名和验签的原理

 
  非对称加密算法,除支持加密外,还可以实现签名。原理如下:
 
  签名:
  1、提取消息摘要,使用发送方私钥对消息摘要加密,生成消息签名。
  2、将消息签名和消息一起,使用接收方公钥加密,获得密文。
 
  验签:
  1、使用接收方私钥对密文解密,获得消息和消息签名。
  2、使用发送方公钥解密消息签名,获得消息摘要。
  3、使用相同办法重新提取消息摘要,与上一步中消息摘要对比,如相同则验签成功。
 
  附示意图如下:
 
RSA加解密及签名算法的技术原理及其Go语言实现
 

go标准库中的RSA签名实现

 

//签名
func SignPKCS1v15(rand io.Reader, priv *PrivateKey, hash crypto.Hash, hashed []byte) ([]byte, error) {
    //哈希提取消息摘要
    hashLen, prefix, err := pkcs1v15HashInfo(hash, len(hashed))
    if err != nil {
        return nil, err
    }

    tLen := len(prefix) + hashLen
    k := (priv.N.BitLen() + 7) / 8
    if k < tLen+11 {
        return nil, ErrMessageTooLong
    }

    // EM = 0x00 || 0x01 || PS || 0x00 || T
    em := make([]byte, k)
    em[1] = 1
    for i := 2; i < k-tLen-1; i++ {
        em[i] = 0xff
    }
    //整合消息摘要和消息体
    copy(em[k-tLen:k-hashLen], prefix)
    copy(em[k-hashLen:k], hashed)

    m := new(big.Int).SetBytes(em)
    //使用发送方私钥加密消息摘要和消息体,即为签名
    c, err := decryptAndCheck(rand, priv, m)
    if err != nil {
        return nil, err
    }

    copyWithLeftPad(em, c.Bytes())
    return em, nil
}

//验证签名
func VerifyPKCS1v15(pub *PublicKey, hash crypto.Hash, hashed []byte, sig []byte) error {
    //哈希提取消息摘要
    hashLen, prefix, err := pkcs1v15HashInfo(hash, len(hashed))
    if err != nil {
        return err
    }

    tLen := len(prefix) + hashLen
    k := (pub.N.BitLen() + 7) / 8
    if k < tLen+11 {
        return ErrVerification
    }

    c := new(big.Int).SetBytes(sig)
    //使用发送方公钥解密,提取消息体和消息签名
    m := encrypt(new(big.Int), pub, c)
    em := leftPad(m.Bytes(), k)
    // EM = 0x00 || 0x01 || PS || 0x00 || T

    //对比发送方和接收方消息体、以及消息签名
    ok := subtle.ConstantTimeByteEq(em[0], 0)
    ok &= subtle.ConstantTimeByteEq(em[1], 1)
    ok &= subtle.ConstantTimeCompare(em[k-hashLen:k], hashed)
    ok &= subtle.ConstantTimeCompare(em[k-tLen:k-hashLen], prefix)
    ok &= subtle.ConstantTimeByteEq(em[k-tLen-1], 0)

    for i := 2; i < k-tLen-1; i++ {
        ok &= subtle.ConstantTimeByteEq(em[i], 0xff)
    }

    if ok != 1 {
        return ErrVerification
    }

    return nil
}
//代码位置src/crypto/rsa/pkcs1v15.go

 

后记

 
  RSA算法中使用了大量数论知识,有关数论知识还有待学习。待续。